Простейшие задачи на треугольниках. Признаки равенства. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Медиана, биссектриса, высота в треугольнике. Сумма углов треугольника. Равнобедренный треугольник, свойства и признаки. Средняя линия треугольника.
Биссектрисы углов $A$ и $C$ разрезают неравнобедренный треугольник $ABC$ на четырёхугольник и три треугольника, причём среди этих трёх треугольников есть два равнобедренных. Найдите углы треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. На его стороне $AB$ отметили точку $X$ так, что угол $\angle ABC=4\angle ACX$. Точка $M$ — середина стороны $AC$. Найдите длину отрезка $BX$, если известно, что $BC=53$, $BM=40$.
Ответ:
Решение:
На диагонали $AC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ отмечена точка $T$ так, что $AD=BT$. Оказалось, что $AB=BC=CT$, $\angle ABT=\angle CAD$, $\angle ABC=132^\circ$. Сколько градусов составляет угол $\angle BCD$?
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$. Квадрат $KLMN$ расположен, как на рисунке: точки $K$, $L$, $N$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $AC$ соответственно, а точка $M$ расположена внутри треугольника $ABC$. Найдите длину отрезка $AC$, если известно, что $AK=7$, $AN=3$.
Ответ:
Решение:
Внутри равностороннего треугольника $ABC$ отмечена произвольная точка $M$. Докажите, что можно выбрать на стороне $AB$ точку $C_1$, на стороне $BC$ — точку $A_1$, а на стороне $AC$ — точку $B_1$ таким образом, чтобы длины сторон треугольника $A_1B_1C_1$ были равны отрезкам $MA$, $MB$ и $MC$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $K$ на стороне $AC$ такова, что $\angle ABK=\angle BKA$. Оказалось, что $KB=KM$. Докажите, что $2AC=3AB$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BE$ и серединный перпендикуляр $m$ к стороне $AB$. Оказалось, что $BE=EC$, а прямая $m$ пересекает сторону $BC$. Докажите, что угол $C$ меньше 36 градусов.
Ответ:
Решение:
$ABCD$ — выпуклый четырёхугольник, где $AB=7$, $BC=4$, $AD=DC$, $\angle ABD=\angle DBC$. Точка $E$ на отрезке $AB$ такова, что $\angle DEB=90^\circ$. Найдите длину отрезка $AE$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BD$, в треугольнике $BDC$ — биссектрису $DE$, а в треугольнике $DEC$ — биссектрису $EF$. Оказалось, что прямые $BD$ и $EF$ параллельны. Докажите, что угол $ABC$ вдвое больше угла $BAC$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$. На плоскости нашлась точка $X$, для которой $AB=BX$ и $AX=XC$. Чему может быть равен угол $BAX$, если угол $BXC$ равен $108^\circ$?
Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ отметили точки $D$ и $E$ — середины $AB$ и $BC$ соответственно. Найдите угол между прямыми, содержащими биссектрисы углов $CAB$ и $BED$, если $\angle ABC=56^\circ$. Ответ укажите в градусах. Напомним, что угол между прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении.
Ответ:
Решение:
Угол $C$ треугольника $ABC$ равен $60^\circ$. На продолжении стороны $BC$ за точку $C$ выбрана точка $D$ так, что $DC+CA=BC$. Известно, что $AB=8$. Найдите длину $AD$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с углом $B$, равным $60^\circ$, проведены биссектрисы $AY$ и $CX$. На отрезках $AX$ и $CY$ отмечены точки $K$ и $N$ так, что $KN\parallel AC$. Прямая $KN$ пересекает отрезки $CX$ и $AY$ в точках $L$ и $M$ соответственно. Оказалось, что $KL=LM=MN$. Известно, что $KN=9$.
1. Найдите длину отрезка $CN$.
2. Найдите длину отрезка $AC$.
1. Найдите длину отрезка $CN$.
2. Найдите длину отрезка $AC$.
Ответ:
Решение:
Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ таков, что $\angle ABD=\angle CBD=47^\circ$. Точка $K$ такова, что точка $D$ является серединой отрезка $AK$. Оказалось, что $BC=AB+CK$.
Сколько градусов составляет $\angle BCK$?
Сколько градусов составляет $\angle BCK$?
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$. Оказалось, что $CH=AB+AH$. Сколько градусов составляет угол $BAC$, если $\angle ABC=84^\circ$?
Ответ:
Решение:
Точка $I$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$. На стороне $BC$ отметили точку $X$. Оказалось, что $AI=BX$, $AC=CX$, $\angle ABC=42^\circ$.
1. Сколько градусов составляет угол $BIX$?
2. Сколько градусов составляет угол $BCA$?
1. Сколько градусов составляет угол $BIX$?
2. Сколько градусов составляет угол $BCA$?
Ответ:
Решение:
На рисунке изображены два равных треугольника: $ABC$ и $EBD$. Оказалось, что $\angle DAE=\angle DEA=37^\circ$. Найдите угол $BAC$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $D$. На отрезках $AD$ и $DC$ во внешнюю сторону от исходного треугольника построены равносторонние треугольники $ADE$ и $DCF$. Известно, что периметр треугольника $DEF$ равен 19, а периметр пятиугольника $ABCFE$ равен 43.
1. Найдите длину отрезка $AB$.
2. Найдите длину отрезка $EF$.
1. Найдите длину отрезка $AB$.
2. Найдите длину отрезка $EF$.
Ответ:
Решение:
Про четырёхугольник $ABCD$ известно, что $AB=BD$, $\angle ABD=\angle DBC$, $\angle BCD=90^\circ$. На отрезке $BC$ отмечена точка $E$ такая, что $AD=DE$. Чему равна длина отрезка $BD$, если известно, что $BE=7$, $EC=5$?
Ответ:
Решение:
Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ таков, что $\angle BAC=\angle BDA$ и $\angle BAD=\angle ADC=60^\circ$. Найдите длину $AD$, если известно, что $AB=14$, $CD=6$.
Ответ:
Решение: