В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона нижнего основания $ABCD$ равна 4, верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ равна 1, точка $O$ — центр основания $ABCD$. Поверхность многогранника $\Phi$ состоит из квадрата $ABCD$, боковых граней пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и боковых граней пирамиды $OA_1B_1C_1D_1$. Найдите площадь сечения многогранника $\Phi$ плоскостью, содержащей прямые $AB$ и $C_1D_1$, если расстояние от точки $D$ до плоскости сечения равно $\dfrac{8\sqrt{14}}{9}$.
Ответ:
Решение:
В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона нижнего основания $ABCD$ равна 24, верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ равна 12, высота пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна $24\sqrt{\dfrac{2}{5}}$, точка $O$ — центр основания $ABCD$. Поверхность многогранника $\Phi$ состоит из квадрата $ABCD$, боковых граней пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и боковых граней пирамиды $OA_1B_1C_1D_1$. Найдите площадь сечения многогранника $\Phi$ плоскостью, проходящей через точки $D$, $C_1$ и середину ребра $A_1B_1$.
Ответ:
Решение:
Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$, площадь которого равна $52\sqrt{3}$, а диагональ $BD=13\sqrt{2}$. Высотой пирамиды $SABCD$ является отрезок $SO$, где $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью, параллельной диагонали основания $BD$ и проходящей через середину ребра $SC$ и точку $N$, лежащую на боковом ребре пирамиды $SD$, причём $SN=2DN$, если расстояние от точки $B$ до плоскости сечения равно $\sqrt{6}$.
Ответ:
Решение:
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб $ABCD$. Сечение призмы плоскостью, проходящей через точку $C_1$ параллельно диагонали ромба $BD$, наклонено к плоскости основания призмы под углом $\operatorname{arctg}\dfrac{4}{3}$. Найдите отношение высоты призмы к диагонали ромба $AC$, если отношение объемов частей, на которые плоскость сечения делит призму, равно $25:47$, причем среди вершин части призмы меньшего объема есть точка $C$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ ($S$ — вершина) $AB=3\sqrt2$, высота пирамиды равна $8$. Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку $A$, а другая — через точки $B$ и $D$, имеют равные площади. В каком отношении делят ребро $SC$ плоскости сечений? Найти расстояние между плоскостями сечений и объемы многогранников, на которые пирамида разбивается этими плоскостями.
Ответ:
Решение:
На ребре $AC$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ взята точка $K$ так, что $AK=\frac14$, $CK=\frac34$. Через точку $K$ проведена плоскость, образующая с плоскостью $ABC$ угол $\operatorname{arctg}\frac76$ и рассекающая призму на два многогранника, площади поверхностей которых равны. Найти объем призмы, если известно, что около одного из этих многогранников можно описать сферу, а около другого — нет.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$ через точку $A$ параллельно прямой $BD$ проведена плоскость $P$, образующая с прямой $AB$ угол, равный $\arcsin\frac{1}{2\sqrt2}$. Найти площадь сечения куба плоскостью $P$ и радиус шара, касающегося плоскости $P$ и граней $ABCD$, $BCC_1B_1$ и $DCC_1D_1$.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABC$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $6$, а высота равна $\frac{3}{\sqrt7}$. На ребрах $AC$, $A_1C_1$ и $BB_1$ расположены соответственно точки $P$, $F$ и $K$ так, что $AP=1$, $A_1F=3$ и $BK=KB_1$. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $P$, $F$ и $K$. Найти площадь сечения и угол между плоскостью основания призмы и плоскостью сечения.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABCD$ правильной пирамиды $SABCD$ равна $2$, высота пирамиды, опущенная на основание, равна $2\sqrt{2}$. На ребрах $SA$ и $SD$ расположены точки $E$ и $F$ так, что $AE=2ES$, $SF=5DF$. Через точки $E$ и $F$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная $CD$. Найти:
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды плоскостью $\alpha$;
2) радиус сферы с центром в точке $A$, касающейся плоскости $\alpha$;
3) угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью $ABC$.
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды плоскостью $\alpha$;
2) радиус сферы с центром в точке $A$, касающейся плоскости $\alpha$;
3) угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью $ABC$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной пирамиде $ABCD$ угол $ADC$ равен $2\arcsin\left(\dfrac{1}{6}\right)$, сторона основания $ABC$ равна $2$. Точки $K$, $M$, $N$ — середины ребер $AB$, $CD$, $AC$ соответственно. Точка $E$ лежит на отрезке $KM$ и $3ME=KE$. Через точку $E$ проходит плоскость $\pi$ перпендикулярно отрезку $KM$. В каком отношении плоскость $\pi$ делит ребра пирамиды? Найти площадь сечения пирамиды плоскостью $\pi$ и расстояние от точки $N$ до плоскости $\pi$.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABCD$ правильной пирамиды $SABCD$ равна 2. Плоскость $\alpha$, параллельная прямым $SC$ и $AD$, пересекает пирамиду так, что в сечение можно вписать окружность, причем периметр сечения равен $\dfrac{32}{5}$. Найти:
1) в каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребра пирамиды;
2) отношение объемов частей, на которые плоскость $\alpha$ разбивает пирамиду;
3) расстояние от центра описанной около пирамиды сферы до плоскости $\alpha$.
1) в каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребра пирамиды;
2) отношение объемов частей, на которые плоскость $\alpha$ разбивает пирамиду;
3) расстояние от центра описанной около пирамиды сферы до плоскости $\alpha$.
Ответ:
Решение:
Основание прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ — треугольник $ABC$, в котором $AB=BC=5$, $AC=6$. Высота призмы равна $\sqrt{6}$. На сторонах $AC$, $BC$ и $A_1C_1$ выбраны соответственно точки $D$, $E$ и $D_1$ так, что $DC=\dfrac{AC}{4}$, $BE=CE$, $A_1D_1=\dfrac{A_1C_1}{3}$, и через эти точки проведена плоскость $\Pi$. Найти:
1) площадь сечения призмы плоскостью $\Pi$;
2) угол между плоскостью $\Pi$ и плоскостью $ABC$;
3) расстояние от точек $C_1$ и $C$ до плоскости $\Pi$.
1) площадь сечения призмы плоскостью $\Pi$;
2) угол между плоскостью $\Pi$ и плоскостью $ABC$;
3) расстояние от точек $C_1$ и $C$ до плоскости $\Pi$.
Ответ:
Решение:
Задан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром длины 1. Найти:
а) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину $B_1$, середину ребра $AD$ и параллельной прямой $A_1C_1$;
б) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину $B_1$ и параллельной прямой $A_1C_1$, у которой площадь проекции сечения на плоскость $A_1C_1A$ максимальна.
а) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину $B_1$, середину ребра $AD$ и параллельной прямой $A_1C_1$;
б) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину $B_1$ и параллельной прямой $A_1C_1$, у которой площадь проекции сечения на плоскость $A_1C_1A$ максимальна.
Ответ:
Решение:
Рассматриваются плоские сечения правильной пирамиды $SABCD$, параллельные боковому ребру $SB$ и диагонали основания $AC$, в которые можно вписать окружность. Какие значения может принимать радиус этих окружностей, если $AC=1$, $\cos\angle SBD=\frac{2}{3}$?
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды $TABC$ служит треугольник $ABC$, все стороны которого равны $3$, а высота пирамиды совпадает с боковым ребром $TA$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через центр сферы, описанной около пирамиды, образующей с плоскостью основания угол $60^\circ$, пересекающей ребро $AB$ в точке $M$, так что $MB=2AM$, и пересекающей ребро $BC$. Известно, что расстояние от точки $A$ до плоскости сечения равно $0{,}25$.
Ответ:
Решение:
Дана правильная четырёхугольная пирамида $TABCD$ с основанием $ABCD$, причём $AB=9/2$. На её высоте $TO$ выбрана точка $T_1$ так, что $TT_1=TO/3$. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$ делят отрезки $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$, соответственно, в отношении $1:2$, считая от точки $O$. Найдите площадь сечения пирамиды $T_1A_1B_1C_1D_1$ плоскостью, параллельной медиане $AK$ боковой грани $TAB$, проходящей через середину ребра $TC$ и точку $F$ отрезка $TA$ такую, что $AF:FT=1:2$, если известно, что расстояние от точки $C$ до этой плоскости сечения равно $4\sqrt{2/13}$. Результат округлите до сотых по правилам округления.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с рёбрами $AD=12$, $AB=7$, $AA_1=7$. Внутри параллелепипеда расположена сфера, касающаяся трёх граней с вершиной $A$ и касающаяся диагонали $B_1D$. Найдите радиус сферы.
Ответ:
Решение:
Сфера с центром $O$ вписана в трёхгранный угол с вершиной $S$ и касается его граней в точках $K$, $L$, $M$ (все плоские углы трёхгранного угла различны). Найдите угол $KSO$ и площадь сечения данного трёхгранного угла плоскостью $KLM$, если известно, что площади сечений трёхгранного угла плоскостями, касающимися сферы и перпендикулярными прямой $SO$, равны 1 и 4.
Ответ:
Решение:
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит трапеция $ABCD$, в которой $AB=BC=CD=2$, $AD=4$. Точки $K$, $L$, $M$ лежат на отрезках $A_1B$, $B_1C$, $C_1D$ соответственно так, что \[ \dfrac{A_1K}{KB}=\dfrac{B_1L}{LC}=\dfrac{C_1M}{MD}=3. \] Сфера радиуса $R=2$ касается прямых $A_1B$, $B_1C$, $C_1D$ в точках $K$, $L$, $M$ соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KLM$, расстояние от центра сферы до плоскости $KLM$ и объём призмы.
Ответ:
Решение:
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит трапеция $ABCD$, в которой $AB=BC=CD=2$, $AD=4$. Точки $K$, $L$, $M$ лежат на отрезках $A_1B$, $B_1C$, $C_1D$ соответственно так, что \[ \dfrac{A_1K}{KB}=\dfrac{B_1L}{LC}=\dfrac{C_1M}{MD}=7. \] Сфера радиуса $R=2$ касается прямых $A_1B$, $B_1C$, $C_1D$ в точках $K$, $L$, $M$ соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KLM$, расстояние от центра сферы до плоскости $KLM$ и объём призмы.
Ответ:
Решение: