Боковые ребра $TA$, $TB$, и $TC$ тетраэдра $TABC$ попарно перпендикулярны, ребро $TA$ наклонено к плоскости основания $ABC$ под углом $30^\circ$. Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$, косинус угла $AHB$ равен $-1/3$. Найдите угол между ребром $TC$ и плоскостью $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $ABCD$ ребра $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, $AB=BD=AD=a$, середина ребра $AC$ равноудалена от плоскостей $ABD$ и $BCD$, угол между ребром $AC$ и гранью $CBD$ равен $\arcsin\frac{1}{\sqrt3}$. Найти длину ребра $CD$, угол $CAD$ и угол между ребром $BD$ и гранью $ACD$.
Ответ:
Решение:
Две противоположные боковые грани четырехугольной пирамиды $SABCD$ перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна $\sqrt5$. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ ($AD=BC$), описанная около окружности и такая, что $AB=6$, $\angle BAD=\frac{\pi}{3}$. Найти расстояние от точки $D$ до плоскости $SAB$.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его основания вписана в треугольник $SCD$, а вершина принадлежит грани $SAB$. Найти объем конуса.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его основания вписана в треугольник $SCD$, а вершина принадлежит грани $SAB$. Найти объем конуса.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABC$ правильной треугольной пирамиды $ABCD$ равна 6, двугранный угол между боковыми гранями пирамиды равен $\arccos\dfrac{7}{32}$. Точки $A_1$ и $B_1$ — середины рёбер $AD$ и $BD$ соответственно, $BC_1$ — высота в треугольнике $DBC$. Найти:
- угол между прямыми $AB$ и $B_1C_1$;
- площадь треугольника $A_1B_1C_1$;
- расстояние от точки $B$ до плоскости $A_1B_1C_1$;
- радиус вписанного в пирамиду $A_1B_1C_1D$ шара.
Ответ:
Решение:
На рёбрах $SA$, $SB$ треугольной пирамиды $SABC$ отмечены точки $Q$, $P$ соответственно, причём $SQ:QA=3:5$ и $SP:PB=1:5$; $R$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Плоскость $PQR$ пересекает ребро $BC$ в точке $D$. Найдите длину отрезка $CD$, если известно, что длина $BC=7$.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABC$ лежит треугольник $ABC$ со сторонами $AB=4$, $AC=13$, $BC=15$. Высота пирамиды имеет длину $6$, а основание высоты попадает на прямую $BC$. Найдите площадь плоского сечения, проходящего через точку $A$ параллельно прямой $BC$ и делящего высоту пирамиды в отношении $3:2$, считая от вершины $S$.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $ABCD$ углы $ACB$, $BCD$ и $ACD$ прямые. На рёбрах $CD$, $AC$ и $BD$ отмечены точки $P$, $Q$ и $R$ соответственно, причём \[ \dfrac{DP}{DC}=\dfrac{AQ}{AC}=\dfrac{1}{3},\quad \dfrac{DR}{DB}=\dfrac{1}{2}. \] Найдите площадь сечения пирамиды $ABCD$ плоскостью $PQR$, если известно, что $AC=3$, $BC=4$, а угол между плоскостью $PQR$ и прямой $CD$ равен $\dfrac{\pi}{6}$.
Ответ:
Решение:
На ребре $AC$ основания треугольной пирамиды $ABCD$ расположена точка $M$ так, что $AM:MC=1:2$. Через середину ребра $BC$ основания пирамиды проведена плоскость $P$, проходящая через точку $M$ и параллельная боковому ребру $CD$. В каком отношении плоскость $P$ делит объем пирамиды?
Ответ:
Решение:
На ребрах $AB$, $CD$, $DB$ треугольной пирамиды $ABCD$ расположены точки $M$, $N$, $P$ соответственно, причем $AM:MB=1$, $CN:ND=2$, $DP:PB=3$. Через точки $M$, $N$, $P$ проведена плоскость, пересекающая прямую $AC$ в точке $R$. Найти отношение длин отрезков $CR:RA$.
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ — середины скрещивающихся ребер $AD$ и $BC$ треугольной пирамиды $DABC$ с вершиной $D$. Точка $Q$ на ребре $AC$ делит его в отношении $AQ:AC=1:3$. Через точки $M$, $N$ и $Q$ проведено сечение пирамиды плоскостью, делящей пирамиду на две части. Найти отношение их объемов.
Ответ:
Решение:
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб $ABCD$. Сечение призмы плоскостью, проходящей через точку $C_1$ параллельно диагонали ромба $BD$, наклонено к плоскости основания призмы под углом $\operatorname{arctg}\dfrac43$. Найдите угол между диагональю призмы $AC_1$ и плоскостью основания $ABCD$, если площадь сечения относится к площади основания призмы как $35:24$.
Ответ:
Решение:
Апофема правильной пирамиды $SABCD$ равна 2, боковое ребро образует с основанием $ABCD$ угол, равный $\mathrm{arctg}\sqrt{\dfrac{3}{2}}$. Точки $E$, $F$, $K$ выбраны соответственно на ребрах $AB$, $AD$ и $SC$ так, что $\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AF}{FD}=\dfrac{SK}{KC}=\dfrac{1}{2}$. Найти:
1) площадь сечения пирамиды плоскостью $EFK$;
2) расстояние от точки $D$ до плоскости $EFK$;
3) угол между прямой $SD$ и плоскостью $EFK$.
1) площадь сечения пирамиды плоскостью $EFK$;
2) расстояние от точки $D$ до плоскости $EFK$;
3) угол между прямой $SD$ и плоскостью $EFK$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $ABCD$ равна $\sqrt{2}$, высота $SO$ равна $2$. Точка $K$ лежит на высоте $SO$, причём $KS:KO=1:3$. Через точку $K$ проведена плоскость $\Pi$, перпендикулярная прямой $SA$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $\Pi$, расстояние от точки $D$ до плоскости $\Pi$ и угол между плоскостью $\Pi$ и прямой $SD$.
Ответ:
Решение:
Через ребро $AB$ основания правильной четырехугольной пирамиды $EABCD$ проведена плоскость $P$, пересекающая ребра $EC$ и $ED$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Плоскость $P$ делит объем пирамиды в отношении $V_{EABMN}:V_{EABCD}=5:9$. Найти отношение площадей полных поверхностей пирамид $S_{EABMN}:S_{EABCD}$, если боковые грани пирамиды $EABCD$ наклонены к плоскости основания $ABCD$ под углом $\alpha=\operatorname{arctg}5$.
Ответ:
Решение:
На боковых ребрах $EA$, $EB$, $EC$ правильной четырехугольной пирамиды $ABCDE$ расположены точки $M$, $N$, $K$ соответственно, причем $EM:EA=1:2$, $EN:EB=2:3$, $EK:EC=1:3$. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через точки $M$, $N$, $K$?
Ответ:
Решение:
В пирамиде $SABC$ $AB=BC$, $SB=SN$, где $N$ — середина отрезка $AC$, а тангенс угла между плоскостями $SAB$ и $ABC$ относится к тангенсу угла между плоскостями $SBC$ и $ABC$ как $5:2$. Плоскость $\pi$ параллельна $BC$, делит ребро $SA$ в отношении $1:2$, считая от вершины $S$, и проходит через основание $O$ высоты $SO$ пирамиды $SABC$. Найти отношение объёмов многогранников, на которые эта плоскость делит пирамиду $SABC$.
Ответ:
Решение:
Через точки $M$, $N$, $K$, $L$, лежащие соответственно на рёбрах $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ ($S$ — вершина), проведена плоскость. Известно, что $MK\perp NL$, $SN=3\cdot SL$ и площадь треугольника $SMK$ равна 12. Найдите площадь треугольника $SLN$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$ длины всех рёбер равны 1. Некоторая плоскость пересекает отрезки $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ в точках $K$, $L$, $M$, $N$ соответственно. Какие значения может принимать площадь треугольника $SLN$, если $SK=\frac{1}{2}$ и $SM=\frac{1}{3}$?
Ответ:
Решение:
Плоскость проходит через точку $K$, лежащую на ребре $SA$ пирамиды $SABC$, и делит биссектрису $SD$ грани $SAB$ и медиану $SE$ грани $SAC$ пополам. В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды, если $SK:KA=SA:SB=2$?
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с рёбрами $AB=3$, $AD=4$ и $AA_1=5$ проведены два сечения — плоскостью, проходящей через диагональ $A_1C$, и плоскостью, проходящей через диагональ $B_1D$. Найдите наибольшее возможное значение суммы площадей поверхностей многогранников, на которые эти сечения разбивают данный параллелепипед.
Ответ:
Решение: