В основании пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$. Сфера $\omega$ радиуса $\dfrac{15}{14}$ с центром $O$ касается рёбер $AS$, $BS$, $AD$, $BC$ пирамиды $SABCD$ соответственно в точках $K$, $L$, $M$, $N$, пересекает ребро $AB$ в точках $P$ и $Q$ и касается грани $CDS$. Известно, что прямая $SO$ перпендикулярна плоскости $ABCD$ и пересекает её в точке $H$, $\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{4}{\sqrt7}$, $\dfrac{AS}{LS}=\dfrac32$. Найти $\angle SAB$, $\angle SBH$, высоту пирамиды и её объём.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$. Сфера $\omega$ радиуса $\frac{15}{14}$ с центром $O$ касается рёбер $AS$, $BS$, $AD$, $BC$ пирамиды $SABCD$ соответственно в точках $K$, $L$, $M$, $N$, пересекает ребро $AB$ в точках $P$ и $Q$ и касается грани $CDS$. Известно, что прямая $SO$ перпендикулярна плоскости $ABCD$ и пересекает её в точке $H$; $\frac{AB}{PQ}=\frac{4}{\sqrt{7}}$, $\frac{AS}{LS}=\frac{3}{2}$. Найти углы $SAB$ и $SBH$, высоту пирамиды и её объём.
Ответ:
Решение:
Дана усечённая пирамида $ABCA_1B_1C_1$ с боковыми рёбрами $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ ($ABC\parallel A_1B_1C_1$), такая, что треугольник $ABA_1$ — равносторонний. На ребре $CC_1$, перпендикулярном основанию $ABC$ пирамиды, лежит точка $M$ такая, что $CM:MC_1=1:2$. Сфера $\Omega$ с радиусом $\sqrt5$ проходит через вершины треугольника $ABA_1$ и касается отрезка $CC_1$ в точке $M$.
а) Найдите длину ребра $AB$.
б) Пусть дополнительно известно, что $\angle BAC=\arcsin\frac1{\sqrt3}$. Найдите угол между прямой $CC_1$ и плоскостью $ABA_1$, а также длину ребра $A_1C_1$.
а) Найдите длину ребра $AB$.
б) Пусть дополнительно известно, что $\angle BAC=\arcsin\frac1{\sqrt3}$. Найдите угол между прямой $CC_1$ и плоскостью $ABA_1$, а также длину ребра $A_1C_1$.
Ответ:
Решение:
Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, грани $ABCD$ и $CDD_1C_1$ которого являются прямоугольниками. Сфера $S$ касается прямых $B_1C_1$ и $C_1D_1$, плоскости $CDD_1$, а также плоскости $ABC$ в точке $A$. Эта сфера повторно пересекает отрезок $AC_1$ в точке $M$. Найдите $\angle BB_1C_1$ и объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если известно, что $AM=5$, $C_1M=3$.
Ответ:
Решение:
Дана треугольная пирамида $SABC$, медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Сфера $\Omega$ касается ребра $AS$ в точке $L$ и касается плоскости основания пирамиды в точке $K$, лежащей на отрезке $AM$. Сфера $\Omega$ пересекает отрезок $SM$ в точках $P$ и $Q$. Известно, что $SP=MQ$, площадь треугольника $ABC$ равна 90, $SA=BC=12$.
а) Найдите произведение длин медиан $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
б) Найдите двугранный угол при ребре $BC$ пирамиды, если дополнительно известно, что $\Omega$ касается грани $BCS$ в точке $N$, $SN=4$, а радиус сферы $\Omega$ равен 5.
а) Найдите произведение длин медиан $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.
б) Найдите двугранный угол при ребре $BC$ пирамиды, если дополнительно известно, что $\Omega$ касается грани $BCS$ в точке $N$, $SN=4$, а радиус сферы $\Omega$ равен 5.
Ответ:
Решение:
В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=\sqrt5$, $AD=DC=\sqrt2$, $AC=2$. Ребро $SD$ — высота пирамиды. Известно, что $SA+SB=2+\sqrt5$. Найдите:
а) объем пирамиды;
б) радиус шара, касающегося граней $ABCD$, $SAB$, $SBC$ и ребра $SD$.
а) объем пирамиды;
б) радиус шара, касающегося граней $ABCD$, $SAB$, $SBC$ и ребра $SD$.
Ответ:
Решение:
Шар $\Omega$ касается всех рёбер правильной усечённой пирамиды, а шар $\omega$ касается всех её граней. Пусть сторона верхнего основания меньше, чем сторона нижнего. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади её нижнего основания.
Ответ:
Решение:
В прямую четырёхугольную призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вписана сфера $\omega$. Луч с началом в точке $A$ пересекает $\omega$ в точках $P$ и $Q$, а луч с началом в точке $C$ пересекает $\omega$ в точках $M$ и $N$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$. Найдите объём призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и расстояние $\rho$ от центра $\omega$ до плоскости $PAC$, если известно, что \[ AO=1,\quad BO=2,\quad CO=4,\quad AP=\dfrac{\sqrt{5}}{3},\quad AQ=\dfrac{5\sqrt{5}}{3},\quad CM=\dfrac{10\sqrt{5}}{9},\quad CN=2\sqrt{5}. \]
Ответ:
Решение:
Муравейник, в котором проживает муравей Гоша, имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром $50$ см и плоским углом при вершине $\pi/6$. Гоша совершил прогулку по поверхности муравейника, выйдя из вершины основания, возвратившись в нее же и побывав на всех боковых гранях муравейника. Во время своей прогулки Гоша никогда не приближался к вершине муравейника ближе, чем на $30$ см. Какое наименьшее возможное расстояние мог преодолеть Гоша за время прогулки?
Ответ:
Решение:
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого прямые. Саша утверждает, что кратчайший путь по поверхности этого многогранника от вершины $X$ до вершины $Y$ имеет длину $4$. Прав ли он?
Ответ:
Решение:
Назовём горой усечённый прямой круговой конус с длиной окружности нижнего основания $8$, а верхнего основания — $6$. Склон горы наклонён под углом $60^\circ$ к плоскости основания. На окружности нижнего основания лежит точка $A$. Турист начинает подъём по склону из точки $A$ к ближайшей точке верхнего основания, а затем продолжает свой путь по краю верхнего основания, и проходит расстояние $2$. После этого он возвращается в точку $A$ кратчайшим маршрутом. Чему равна длина обратного пути?
Ответ:
Решение:
Гора имеет форму конуса с вершиной в точке $C$. Точка $O$ — центр основания, точка $A$ лежит на основании конуса, а точка $B$ — на отрезке $CA$, причем $CA=60$, $AB=10$, $OA=20$. Железная дорога проложена по кратчайшему пути вокруг горы из точки $A$ в точку $B$. Точка $H$ — ближайшая к вершине горы из всех точек железной дороги. Найдите длину пути $BH$.
Ответ:
Решение:
Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ служит треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB=90^\circ$, $AC=3$ см, $CB=4$ см. Высота призмы равна $12$ см. Точка $K$ лежит на отрезке $AC_1$, причём $AK=\dfrac{AC_1}{3}$. Муравей начал движение из точки $K$ и движется со скоростью $1$ см/с по поверхности призмы. За какое наименьшее время в секундах муравей может достигнуть точки $B_1$?
Ответ:
Решение:
Тело в форме тетраэдра $ABCD$ с одинаковыми ребрами поставлено гранью $ABC$ на плоскость. Точка $F$ — середина ребра $CD$, точка $S$ лежит на прямой $AB$, $S\neq A$, $AB=BS$. В точку $S$ сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку $F$, чтобы пройденный им путь был минимальным?
Ответ:
Решение:
Расстоянием между двумя точками на поверхности прямоугольного параллелепипеда $ABCDA'B'C'D'$ называют наименьшую длину ломаной на поверхности, соединяющей эти точки. По поверхности параллелепипеда с размерами $AB=2$, $AD=2\sqrt{2}$, $AA'=4$ ползет муравей так, что расстояние на поверхности между ним и вершиной $A$ всегда постоянное и равно $2\sqrt{2}$. Нарисовать замкнутую траекторию движения муравья по поверхности параллелепипеда и найти ее длину.
Ответ:
Решение:
Известно, что всякую треугольную пирамиду, противоположные рёбра которой попарно равны, можно так разрезать вдоль трёх её рёбер и развернуть, чтобы её развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов (см. рисунок). Найдётся ли ещё какой-нибудь выпуклый многогранник, который можно так разрезать вдоль нескольких его рёбер и развернуть, чтобы его развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов?
Ответ:
Решение:
Медианы оснований треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ пересекаются в точках $O$ и $O_1$ соответственно. На отрезке $OO_1$ взята точка $P$ так, что $O_1P:PO=1:3$. Через точку $P$ проведена прямая параллельная диагонали $A_1C$ боковой грани призмы. Найдите длину отрезка этой прямой, расположенного внутри призмы, если длина диагонали $A_1C$ равна $2$.
Ответ:
Решение:
На ребрах $AB$ и $DC$ треугольной пирамиды $ABCD$ расположены точки $M$ и $N$ так, что \[ AM:AB=1:2\quad\text{и}\quad DN:DC=1:3. \] На прямых $DM$ и $AN$ взяты точки $P$ и $Q$ так, что прямые $PQ$ и $BC$ параллельны. Найти отношение длин отрезков $PQ:BC$.
Ответ:
Решение:
При каждом натуральном $n$ тело $\Phi_n$ в координатном пространстве задано неравенством \[ 3|x|^n+|8y|^n+|z|^n\lt 1, \] а тело $\Phi$ — объединение всех тел $\Phi_n$. Найдите объём тела $\Phi$.
Ответ:
Решение:
Вася смастерил из стеклянных стержней призму. Призма имеет $171$ боковое ребро и столько же рёбер в каждом из оснований. Вася задумался: «Можно ли параллельно перенести каждое из $513$ рёбер призмы так, чтобы они образовали замкнутую ломаную в пространстве?» Возможна ли реализация Васиной задумки?
Ответ:
Решение: