Найдите все значения параметра $b$, для каждого из которых найдётся число $a$ такое, что система \[ \begin{cases} x=|y-b|+\dfrac{3}{b},\\ x^2+y^2+32=a(2y-a)+12x \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение $(x,y)$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, для каждого из которых найдётся число $b$ такое, что система \[ \begin{cases} x^2+y^2+2a(a+y-x)=49,\\ y=\dfrac{8}{(x-b)^2+1} \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение $(x,y)$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $b$, для каждого из которых найдётся число $a$ такое, что система \[ \begin{cases} y=-b-x^2,\\ x^2+y^2+8a^2=4+4a(x+y) \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение $(x,y)$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, для каждого из которых найдётся число $b$ такое, что система \[ \begin{cases} x=|y+a|+\dfrac{4}{a},\\ x^2+y^2+24+b(2y+b)=10x \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение $(x,y)$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $b$, для каждого из которых найдётся число $a$ такое, что система \[ \begin{cases} x^2+y^2+2b(b-x+y)=4,\\ y=5\cos(x-a)-12\sin(x-a) \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение $(x,y)$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $b$, для каждого из которых найдётся число $a$ такое, что система \[ \begin{cases} y=b-x^2,\\ x^2+y^2+2a^2=4-2a(x+y) \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение $(x,y)$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений \[ \begin{cases} \bigl(|y+9|+|x+2|-2\bigr)\bigl(x^2+y^2-3\bigr)=0,\\ (x+2)^2+(y+4)^2=a \end{cases} \] имеет ровно три решения.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений \[ \begin{cases} (|y-4|+|x+12|-3)\left(x^2+y^2-12\right)=0,\\ (x+5)^2+(y-4)^2=a \end{cases} \] имеет ровно три решения.
Ответ:
Решение:
Дана система уравнений \[ \begin{cases} \left|9+8y-x^2-y^2\right|+|8y|=16y+9-x^2-y^2,\\ (a+4)x-13y+a=0. \end{cases} \]
а) Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы, и найдите площадь полученной фигуры.
б) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система имеет ровно одно решение.
а) Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы, и найдите площадь полученной фигуры.
б) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система имеет ровно одно решение.
Ответ:
Решение:
Дана система уравнений \[ \begin{cases} |15x|+|8y|+|120-15x-8y|=120,\\ \left(x-4\cos\dfrac{a\pi}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{15}{2}\right)^2=\left(\dfrac{a+2}{4}\right)^2. \end{cases} \]
а) Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы, и найдите площадь полученной фигуры.
б) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система имеет ровно три решения.
а) Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы, и найдите площадь полученной фигуры.
б) Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система имеет ровно три решения.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $b$ такие, что система \[ \begin{cases} x\cos a+y\sin a-2\leqslant 0,\\ x^2+y^2+6x-2y-b^2+4b+6=0 \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение при любом значении параметра $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых существует значение параметра $b$ такое, что система \[ \begin{cases} \arcsin\left(\dfrac{a-y}{3}\right)=\arcsin\left(\dfrac{4-x}{4}\right),\\ x^2+y^2-8x-8y=b \end{cases} \] имеет ровно два решения.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} 4|x|+3|y|=12,\\ x^2+y^2-2x+1-a^2=0 \end{cases} \] а) имеет ровно три решения; б) имеет ровно два решения.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} 3|y|-4|x|=6,\\ x^2+y^2-14y+49-a^2=0 \end{cases} \] а) имеет ровно три решения; б) имеет ровно два решения.
Ответ:
Решение:
Окружность, центр которой лежит на прямой $y=b$, пересекает параболу $y=\frac34x^2$ хотя бы в трёх точках; одна из этих точек — начало координат, а две из оставшихся лежат на прямой $y=\frac34x+b$. Найдите все значения $b$, при которых описанная конфигурация возможна.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых у системы уравнений \[ \begin{cases} x^2+y^2=26(y\sin 2a-x\cos 2a),\\ x^2+y^2=26(y\cos 3a-x\sin 3a) \end{cases} \] существуют два решения $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$ такие, что расстояние между точками $P(x_1;y_1)$ и $Q(x_2;y_2)$ равно 10.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система \[ \begin{cases} |y-6-x|+|y-6+x|=12,\\ (|x|-8)^2+(|y|-6)^2=a\end{cases} \] имеет ровно два решения.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система \[ \begin{cases} x^2+(y-a)^2=64,\\ (|x|-6)^2+(|y|-8)^2=100\end{cases} \] имеет ровно два решения.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} y=\left|x-\sqrt a\right|+\sqrt a-2,\\ (|x|-4)^2+(|y|-3)^2=25 \end{cases} \] имеет ровно три решения.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} a^2-2ax-6y+x^2+y^2=0,\\ (|x|-4)^2+(|y|-3)^2=25 \end{cases} \] имеет ровно два решения.
Ответ:
Решение: