Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $x^4+ax^2+a^2-4=0$ имеет ровно два действительных корня.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее целое значение параметра $a$, при котором уравнение \[ x^2+2x+a^2+2a-5=2\left(f\left(\frac{1}{x}\right)-ax\right) \] имеет единственное решение. Функция $f(t)$ задается соотношением \[ f(t)=\frac{\sqrt[3]{(27\cdot t^2+4)(t+2)+32t}}{t-\sqrt{t^2}} \] при всех возможных значениях $t$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $p$ уравнение \[ p\left(x^2+4x+4\right)^2-\left(3p^2+2\right)\left(x^2+4x+4\right)(x-1)+6p\left(x^2-2x+1\right)=0 \] имеет хотя бы одно решение?
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $p$, при которых сумма всех корней уравнения \[ \left(x-\frac94p\right)^4-4p(p-1)\left(x-\frac94p\right)^2-p^3(2p-3)=0 \] меньше $-5p^2+11p+7$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях $a$ три корня уравнения $4x^3+4ax^2+(a^2-2a-4)x-a^2-2a=0$ могут быть пятым, седьмым и девятым членами некоторой геометрической прогрессии? Найти квадрат знаменателя этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
При каких $a$ уравнение $P(x^2)=P(x)$, где $P(x)=ax^2-3x+5$, имеет ровно три различных решения?
Ответ:
Решение:
При каких $b$ найдется $c$ такое, что уравнение \[ x^3+x^2+bx+c=0 \] имеет три отрицательных корня, являющиеся тремя последовательными членами арифметической прогрессии?
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^3-11x^2+ax-8=0$ имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию?
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ \left(x^2-a\right)^2+2\left(x^2-a\right)+(x-a)+2=0 \] имеет ровно одно решение? Укажите решение при найденных значениях параметра $a$.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \left(a+x^2-x+2\right)^2=4a\left(ax^2+x^2-x+2\right) \] имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ (x+1)\cdot(x+2)\cdot(x+8)\cdot(x+16)=ax^2 \] имеет ровно два различных решения.
Ответ:
Решение:
Известно, что график функции \[ y=(x-1)\cdot\left(x^2-3a^2x+2a^4+a^2-1\right) \] пересекает оси координат ровно в трёх различных точках. Определите, при каких $a$ эти три точки образуют треугольник? В ответ запишите наибольшую возможную площадь такого треугольника.
Ответ:
Решение:
Известно, что график функции \[ y=(x-2)\cdot\left(x^2-3a^2x+x+2a^4-2\right) \] пересекает оси координат ровно в трёх различных точках. Определите, при каком значении параметра $a$ эти три точки не являются вершинами треугольника. В ответ запишите наибольшее значение параметра $a$.
Ответ:
Решение:
Доказать, что уравнение \[ x^3-6x=a^3+\dfrac{8}{a^3} \] не может иметь трех действительных решений ни при каких $a$.
При каких $a$ уравнение имеет два различных решения? Найти эти решения.
При каких $a$ уравнение имеет два различных решения? Найти эти решения.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение $(x+2)\cdot(x+4)\cdot(x+9)\cdot(x+18)=a\cdot x^2$ имеет ровно два различных решения.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ \frac{1}{a}+\frac{2x}{a^2}-\frac{3x^2}{a^3}\leqslant 0 \] (относительно неизвестной $x$) представляет собой отрезок длиной 2026?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых множеством решений неравенства \[ \frac{x^2+(a+1)x+a}{x^2+5x+4}\geqslant 0 \] является объединение трёх непересекающихся интервалов. В ответе укажите сумму трёх наименьших целых значений $a$ из полученного интервала.
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при которых неравенство \[ \frac{8x^2-20x+16}{4x^2-10x+7}\leqslant a \] является верным при всех значениях $x$.
Ответ:
Решение:
На плоскости $Oxy$ уравнением $26a^2-22ax-20ay+5x^2+8xy+4y^2=0$ заданы координаты точки $A$, а уравнением $ax^2+2a^2x-ay+a^3+1=0$ — парабола с вершиной в точке $B$. Найдите все значения параметра $a$, при которых точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $3x-y=4$ (точки $A$ и $B$ не лежат на этой прямой).
Ответ:
Решение:
На плоскости $Oxy$ даны точка $A$, координаты $(x;y)$ которой удовлетворяют уравнению $5a^2-6ax-2ay+2x^2+2xy+y^2=0$, и окружность с центром в точке $B$, заданная уравнением $a^2x^2+a^2y^2-8a^2x-2a^3y+12ay+a^4+36=0$. Найдите все значения параметра $a$, при которых точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $y=1$ (точки $A$ и $B$ не лежат на этой прямой).
Ответ:
Решение: