Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=9$, $BC=2$ и боковыми сторонами $AB=5$, $CD=3\sqrt{2}$. Точка $P$ на прямой $BC$ такова, что периметр треугольника $APD$ наименьший из возможных. Найдите этот периметр.
Ответ:
Решение:
У Винтика и у Шпунтика есть по три палочки суммарной длины $1$ метр у каждого. И Винтик, и Шпунтик могут сложить из трёх своих палочек треугольник. Ночью в их дом прокрался Незнайка, взял по одной палочке у Винтика и у Шпунтика и поменял их местами. Наутро оказалось, что Винтик не может сложить из своих палочек треугольник. Можно ли гарантировать, что Шпунтик из своих сможет?
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ на основании $BC$ взята точка $D$, а на боковой стороне $AB$ — точки $E$ и $M$ так, что $AM=ME$ и отрезок $DM$ параллелен стороне $AC$. Докажите, что $AD+DE\gt AB+BE$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ высоты или их продолжения пересекаются в точке $H$, а $R$ — радиус описанной около него окружности. Докажите, что если $\angle A\leqslant\angle B\leqslant\angle C$, то $AH+BH\geqslant 2R$.
Ответ:
Решение:
Из шести палочек попарно различной длины сложены два треугольника (по три палочки в каждом). Всегда ли можно сложить из них один треугольник, стороны которого состоят из одной, двух и трех палочек соответственно?
Ответ:
Решение:
Какая наименьшая площадь может быть у треугольника $AOC$, вершина $O$ которого лежит на катете $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ и является центром окружности радиуса $R$, касающейся гипотенузы $AC$ и проходящей через точку $B$?
Ответ:
Решение:
На гипотенузе $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $P$ и $Q$ ($P$ лежит между $A$ и $Q$) такие, что $AP^2+BQ^2=PQ^2=\sqrt{578}$. Найдите наименьшее возможное значение радиуса описанной около треугольника $CPQ$ окружности.
Ответ:
Решение:
Точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ расположены на сторонах квадрата со стороной $a\gt 5$ так, что отрезки $MN$ и $PQ$ не пересекаются и имеют длины $3$ и $5$ соответственно. Найти наименьшее возможное значение расстояния между серединами этих отрезков.
Ответ:
Решение:
Две параллельные прямые, расстояние между которыми 1, пересекают прямоугольник размерами $3\times 5$ под углом $\alpha=\operatorname{arctg}\frac34$ к его стороне. Найти максимальное возможное значение суммы длин отрезков этих прямых, принадлежащих прямоугольнику.
Ответ:
Решение:
На дуге, равной половине дуги окружности радиуса $R$, расположены 5 точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника. Найти периметр многоугольника, если известно, что сумма квадратов длин его сторон максимально возможная.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ сумма длин сторон $AC$ и $BC$ равна $4$. Для любой точки $D$ на прямой $AB$ ($D\not\equiv A,B$) рассматривается величина $m$, равная сумме радиусов окружностей, описанных около треугольников $ACD$ и $BCD$. Найти наименьшее значение $m$.
Ответ:
Решение:
Моль проела в ковре дырку в форме прямоугольника со сторонами 10 см и 4 см. Найдите наименьший размер квадратной заплатки, которой можно закрыть эту дырку (заплатка закрывает дырку, если все точки прямоугольника лежат внутри квадрата или на его границе).
Ответ:
Решение:
Высота $BD$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекается с его другими высотами в точке $H$. Точка $K$ лежит на отрезке $AC$ так, что величина угла $BKH$ максимальна. Найдите $DK$, если $AD=2$, $DC=3$.
Ответ:
Решение:
Газонная поливалка равномерно разбрызгивает вокруг себя воду в круге радиуса $4-2\sqrt{2}$. На границе этого круга расположена другая такая же поливалка. А ровно посередине между двумя поливалками находится вход в нору. Мышь, хозяйка норы, хочет вернуться домой, но не хочет сильно вымокнуть. Найдите длину пути, на котором мышь намокнет меньше всего. Мышь может менять направление бега, но её скорость постоянна, и под душем двух поливалок мышь мокнет вдвое быстрее.
Ответ:
Решение:
В выпуклом $2024$-угольнике длины всех диагоналей не превосходят $1$. Какое наибольшее количество сторон длины $1$ может быть в этом $2024$-угольнике?
Напомним, что выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Напомним, что выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Ответ:
Решение:
Единичный квадрат разрезан на $n$ треугольников. Докажите, что одним из треугольников можно накрыть квадрат со стороной $1/n$.
Ответ:
Решение:
Карлсон ест треугольный торт. Он режет торт по биссектрисе одного из углов, съедает одну из частей, а с другой повторяет ту же операцию. Если Карлсон съест больше половины торта, он станет не в меру упитанным мужчиной в самом расцвете сил. Докажите, что рано или поздно это произойдёт.
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ взяли такую точку $D$, что угол $BDC$ равен углу $ABC$. Чему равно наименьшее возможное расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $ABD$, если $BC=1$?
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $D$ и $E$ так, что $BD=DE=CE$. На отрезках $AB$, $AC$, $AE$ и $AD$ выбраны точки $L$, $K$, $P$ и $Q$ (все ранее названные точки различны) соответственно так, что \[\angle EAD=\angle PDE=\angle QED=\angle AKP=\angle ALQ.\] Докажите, что $LK+DE\leqslant AD+AE$.
Ответ:
Решение:
Волк окружен собаками, расположенными в точках $M$, $N$, $P$ и $Q$ на сторонах квадрата $ABCD$, $M\in[A;B]$, $N\in[B;C]$, $P\in[C;D]$, $Q\in[D;A]$ так, что $AM:MB=BN:NC=CP:PD=DQ:QA=1:3$. Волк, находящийся внутри квадрата в точке пересечения прямых $MP$ и $NQ$, может бежать со скоростью $v_{\text{в}}$ по прямой в любом направлении. Собаки бегают только по сторонам квадрата со скоростью, не превосходящей $v_{\text{с}}$. Волк может вырваться из окружения, если на границе квадрата встретит не более одной собаки. При каких значениях отношения $v_{\text{с}}/v_{\text{в}}$ волк имеет шанс спастись?
Ответ:
Решение: