Клетчатую доску размером $7\times7$ склеили, используя фигурки трех видов (см. рисунок), не обязательно все. Сколько могло быть использовано фигурок, составленных из четырех клеток?
Ответ:
Решение:
Из шахматной доски размером $8\times8$ вырезали квадрат размером $2\times2$ так, что оставшуюся доску удалось разрезать на прямоугольники размером $1\times3$. Определите, какой квадрат могли вырезать. (Укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.)
Ответ:
Решение:
У Коли есть 100 монет и доска $m\times n$, где $m\geqslant n$ и $m\gt 1$. Он разложил все монеты в клетки доски так, что в любых двух соседних по стороне клетках суммарно оказалось ровно 10 монет (в каких-то клетках могло оказаться несколько монет, а какие-то клетки могли оказаться пустыми). Какие значения может принимать $m$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
У Олега есть набор из 2024 различных клетчатых прямоугольников размеров $1\times1$, $1\times2$, $1\times3$, …, $1\times2024$ (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее количество белых доминошек, которое можно вырезать из доски, изображённой на рисунке. Доминошка — это прямоугольник $1\times2$.
Ответ:
Решение:
Придумайте, как разрезать контур квадрата со стороной 1 на четыре части и сложить из этих частей контур треугольника. Найдите площадь получившегося у вас треугольника. (Толщины контур не имеет. Сгибать и разгибать части нельзя.)
Ответ:
Решение:
Каждую клетку доски $7\times7$ закрасили в один из девяти цветов. Известно, что у каждой клетки, не примыкающей к краю доски, есть соседи (по горизонтали, вертикали или диагонали) всех восьми цветов, не совпадающих с цветом этой клетки. Докажите, что клеток каждого из девяти цветов не меньше четырех.
Ответ:
Решение:
Таблицу $5\times5$ разбили на 7 связных частей по линиям сетки. В каждой части в одной из клеток написали количество клеток в этой части. Отметьте клетки части, которая содержит центральную клетку.
| 2 | 5 | |||
| 6 | 3 | |||
| 5 | 2 | 2 |
Ответ:
Решение:
Из клетчатого квадрата $8\times8$ вырезали часть угловых клеток, а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 2 так, чтобы квадратов каждого типа получилось поровну. Сколько клеток могло быть вырезано?
Ответ:
Решение:
Квадрат $7\times 7$, показанный на рисунке, разрезан без остатка по линиям клеток на фигурки вида «уголок» из пяти клеток и «полоска» из трёх клеток (см. рисунок). Найдите максимально возможное количество пятиклеточных фигурок, содержащих звездочки (одну или больше). Фигурки можно поворачивать и переворачивать.
Ответ:
Решение:
У Вани есть 234 монеты и доска $7\times 7$. Он разложил все монеты в клетки доски так, что в любых четырёх клетках, образующих прямоугольник $1\times 4$ или $4\times 1$, суммарно оказалось ровно 19 монет (в каких-то клетках могло оказаться несколько монет, а какие-то клетки могли оказаться пустыми).
Сколько всего монет может находиться в четвёртом столбце? Укажите все возможные варианты.
Сколько всего монет может находиться в четвёртом столбце? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Каждая клетка таблицы $11\times11$ покрашена в один из трёх цветов: красный, синий или зелёный. Известно, что одноцветные клетки не граничат по стороне, а также что красные и синие клетки не граничат по стороне. Сколько зелёных клеток может быть в таблице? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Новая шахматная фигура слонопотам за один ход может перемещаться либо на любое число клеток по диагонали, либо на одну клетку по горизонтали или по вертикали.
Слонопотам стоит в левой нижней клетке доски $8\times 8$. Назовём клетку доски достижимой, если слонопотам может в неё попасть ровно за 2 хода. Сколько существует достижимых клеток?
Слонопотам стоит в левой нижней клетке доски $8\times 8$. Назовём клетку доски достижимой, если слонопотам может в неё попасть ровно за 2 хода. Сколько существует достижимых клеток?
Ответ:
Решение:
Фигуру, изображённую на рисунке, разрезали на одноклеточные квадраты и прямоугольники $1\times2$. Какое наибольшее количество прямоугольников $1\times2$ при этом могло получиться?
Ответ:
Решение:
На рисунке изображена фигура, состоящая из 17 клеток. Сколько существует способов разрезать её на 8 прямоугольников $1\times2$ и один квадратик $1\times1$?
Ответ:
Решение:
Мышонок Джерри решил подарить коту Тому на День Рождения пирог в виде квадрата $8\times 8$. В три куска, отмеченные буквой «Р», он положил рыбу, в два куска, отмеченные буквой «К», положил колбасу, а ещё в один кусок добавил и то, и другое, но такой кусок не отметил (все остальные куски — без начинки). Также Джерри сообщил Тому, что в любом квадрате $6\times 6$ есть хотя бы 2 куска с рыбой, а в любом квадрате $3\times 3$ — не более одного куска с колбасой.
Какое наименьшее количество кусков пирога надо съесть Тому, чтобы среди них гарантированно оказался кусок с рыбой и колбасой?
Какое наименьшее количество кусков пирога надо съесть Тому, чтобы среди них гарантированно оказался кусок с рыбой и колбасой?
Ответ:
Решение:
В центральной клетке доски $21\times21$ находится фишка. За один ход можно передвинуть фишку в соседнюю по стороне клетку. Алина сделала 10 ходов. Сколько существует клеток, где может оказаться фишка?
Ответ:
Решение:
Квадрат $6\times6$ разрезали на четырёхклеточные и пятиклеточные фигуры, равные показанным на рисунке (обе фигуры участвуют в разрезании). Сколько каких фигур было использовано?
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике один катет в два раза больше другого. Разрежьте его на 5 равных треугольников.
Ответ:
Решение:
Сколькими способами можно разрезать по клеткам приведенную ниже картинку на прямоугольники $1\times2$ (сторона каждой клетки равна 1)?
Ответ:
Решение: