Дано натуральное число $n$. Илья задумал пару различных многочленов степени $n$ (с вещественными коэффициентами), аналогично Саша задумал пару различных многочленов степени $n$. Лёня знает $n$; его цель — выяснить, одинаковые ли пары многочленов у Ильи и Саши. Лёня выбирает набор из $k$ вещественных чисел $x_1\lt x_2\lt \ldots\lt x_k$ и сообщает эти числа. В ответ Илья заполняет таблицу $2\times k$: для каждого $i=1,2,\ldots,k$ он вписывает в две клетки $i$-го столбца пару чисел $P(x_i)$, $Q(x_i)$ (в любом из двух возможных порядков), где $P$ и $Q$ — задуманные им многочлены. Аналогичную таблицу заполняет Саша. При каком наименьшем $k$ Лёня сможет (глядя на таблицы) наверняка добиться цели?
Ответ:
Решение:
Пусть $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$, где $n$ — натуральное число. Известно, что числа $a_0$, $a_1$, …, $a_n$ — целые, при этом $a_n\ne0$, $a_{n-k}=a_k$ при всех $k=0, 1, \ldots, n$, и $a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0=0$. Докажите, что число $P(2022)$ делится на квадрат некоторого натурального числа, большего 1.
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами имеет степень $10^5$, а его старший коэффициент равен 1. Найдите наименьшую возможную степень многочлена \[ R(x)=P\left(x^{1000}+1\right)-P(x)^{1000}. \]
Ответ:
Решение:
Бесконечная последовательность ненулевых чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ такова, что при всех натуральных $n\geqslant 2018$ число $a_{n+1}$ является наименьшим корнем многочлена \[P_n(x)=x^{2n}+a_1x^{2n-2}+a_2x^{2n-4}+\ldots+a_n.\] Докажите, что существует такое $N$, что в бесконечной последовательности $a_N$, $a_{N+1}$, $a_{N+2}$, $\ldots$ каждый член меньше предыдущего.
Ответ:
Решение:
Дан кубический многочлен $f(x)$. Назовём циклом тройку различных чисел $(a,b,c)$ таких, что $f(a)=b$, $f(b)=c$ и $f(c)=a$. Известно, что нашлись восемь циклов $(a_i,b_i,c_i)$, $i=1,2,\ldots,8$, в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида $a_i+b_i+c_i$ есть хотя бы три различных.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $N\geqslant3$. Назовём набор из $N$ точек на координатной плоскости допустимым, если их абсциссы различны, и каждая из этих точек окрашена либо в красный, либо в синий цвет. Будем говорить, что многочлен $P(x)$ разделяет допустимый набор точек, если либо выше графика $P(x)$ нет красных точек, а ниже — нет синих, либо наоборот (на самом графике могут лежать точки обоих цветов). При каком наименьшем $k$ любой допустимый набор из $N$ точек можно разделить многочленом степени не более $k$?
Ответ:
Решение:
Обозначим $\alpha$ положительный корень квадратного трёхчлена \[x^2+x-5.\] Многочлен $P(x)$ имеет целые неотрицательные коэффициенты, и $P(\alpha)=49$.
1. Найдите наименьший возможный свободный член многочлена $P$.
2. Найдите наименьшую возможную сумму коэффициентов многочлена $P$.
1. Найдите наименьший возможный свободный член многочлена $P$.
2. Найдите наименьшую возможную сумму коэффициентов многочлена $P$.
Ответ:
Решение:
Пусть $n$ — натуральное число. На $2n+1$ карточках написано по ненулевому целому числу; сумма всех чисел также ненулевая. Требуется этими карточками заменить звёздочки в выражении $*x^{2n}+*x^{2n-1}+\ldots+*x+*$ так, чтобы полученный многочлен не имел целых корней. Обязательно ли это можно сделать?
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)$ с действительными коэффициентами, отличный от константы, таков, что для всех действительных $x$ верно \[P(x^2)=x(1+x^2)P(x).\]
1. Найдите $P(-1)$.
2. Найдите $\dfrac{P(5)}{P(2)}$.
1. Найдите $P(-1)$.
2. Найдите $\dfrac{P(5)}{P(2)}$.
Ответ:
Решение:
Многочлен $G(x)$ с действительными коэффициентами принимает значение 2022 ровно в пяти различных точках $x_1\lt x_2\lt x_3\lt x_4\lt x_5$. Известно, что график функции $y=G(x)$ симметричен относительно прямой $x=-8$.
1. Найдите $x_1+x_3+x_5$.
2. Какую наименьшую степень может иметь $G(x)$?
1. Найдите $x_1+x_3+x_5$.
2. Какую наименьшую степень может иметь $G(x)$?
Ответ:
Решение:
Дано положительное число $a$. Известно, что уравнение $x^3+1=ax$ имеет ровно два положительных корня, и отношение большего из них к меньшему равно 2018. Уравнение $x^3+1=ax^2$ также имеет ровно два положительных корня. Докажите, что отношение большего из них к меньшему также равно 2018.
Ответ:
Решение:
В выражении $(a+2b)(b+2c)(c+2d)(d+2e)(e+2f)(f+2a)$ раскрыли скобки и привели подобные слагаемые.
1. Найдите коэффициент при $abcdef$.
2. Найдите сумму всех получившихся коэффициентов.
1. Найдите коэффициент при $abcdef$.
2. Найдите сумму всех получившихся коэффициентов.
Ответ:
Решение:
Квадратный трёхчлен $P(x)$ таков, что $P(P(x))=x^4-2x^3+4x^2-3x+4$. Чему может равняться $P(8)$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Докажите, что если в выражении $(x^2-x+1)^{2014}$ раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.
Ответ:
Решение:
Максим загадал многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами. За один ход Надя может назвать любой многочлен $Q(x)$ с вещественными коэффициентами, а ответ Максим должен сообщить Наде следующие два факта:
1) достигается ли максимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно;
2) достигается ли минимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно.
Надя хочет последовательно сделать несколько таких ходов, а затем назвать такое вещественное число $t$, что $|P(2026)-t|\lt 10^{-100}$. Докажите, что Надя может действовать так, чтобы гарантированно добиться желаемого. (Надя сама решает, когда ей перестать задавать вопросы).
1) достигается ли максимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно;
2) достигается ли минимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно.
Надя хочет последовательно сделать несколько таких ходов, а затем назвать такое вещественное число $t$, что $|P(2026)-t|\lt 10^{-100}$. Докажите, что Надя может действовать так, чтобы гарантированно добиться желаемого. (Надя сама решает, когда ей перестать задавать вопросы).
Ответ:
Решение:
Дано натуральное $n\geqslant 2$. Симметрический многочлен $P(x_1,\ldots,x_n)$ таков, что уравнение $P(x_1,\ldots,x_n)=0$ имеет вещественные решения, причём все эти решения получаются перестановкой чисел из одного единственного набора $a_1,\ldots,a_n$. Известно, что в этом наборе есть хотя бы два различных числа. Для каждого $n\geqslant 2$ найдите наименьшую возможную степень многочлена $P$.
Ответ:
Решение:
Про приведённый многочлен $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$ с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном $m\geqslant 2$ многочлен $\underbrace{P(P(\ldots P}_{m\text{ раз}}(x)\ldots))$ имеет действительные корни, причём только положительные. Обязательно ли сам многочлен $P(x)$ имеет действительные корни, причём только положительные?
Ответ:
Решение:
Существуют ли два многочлена с целыми коэффициентами такие, что у каждого из них есть коэффициент, модуль которого больше 2015, но у произведения этих двух многочленов модули всех коэффициентов не превосходят 1?
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)$ удовлетворяет условиям: $P(0)=1$, $(P(x))^2=1+x+x^{100}Q(x)$, где $Q(x)$ — некий многочлен. Докажите, что коэффициент при $x^{99}$ в многочлене $(P(x)+1)^{100}$ равен нулю.
Ответ:
Решение:
Продавец хочет разрезать кусок сыра на части, которые можно будет разложить на две кучки равного веса. Он умеет разрезать любой кусок сыра в одном и том же отношении $a:(1-a)$ по весу, где $0\lt a\lt 1$. Верно ли, что на любом промежутке длины $0{,}001$ из интервала $(0;1)$ найдётся значение $a$, при котором он сможет добиться желаемого результата с помощью конечного числа разрезов?
Ответ:
Решение: