Дан многочлен степени $n\geqslant 1$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $P(x)$ степени $n\gt 5$ с целыми коэффициентами, имеющий $n$ различных целых корней. Докажите, что многочлен $P(x)+3$ имеет $n$ различных действительных корней.
Ответ:
Решение:
Дан многочлен степени $2022$ с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом $1$. Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале $(0;1)$?
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение \[ a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots+a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0 \] имеет хотя бы один действительный корень.
Ответ:
Решение:
Учитель написал на доске в алфавитном порядке все возможные $2^n$ слов, состоящих из $n$ букв А или Б. Затем он заменил каждое слово на произведение $n$ множителей, исправив каждую букву А на $x$, а каждую букву Б — на $(1-x)$, и сложил между собой несколько первых из этих многочленов от $x$. Докажите, что полученный многочлен представляет собой либо постоянную, либо возрастающую на отрезке $[0;1]$ функцию от $x$.
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $P(x)$, не равный нулю тождественно. Известно, что при всех $x$ выполняется тождество $(x-2020)\cdot P(x+1)=(x+2021)\cdot P(x)$. Сколько корней имеет уравнение $P(x)=0$?
Ответ:
Решение:
Известно, что $a$, $b$, $c$ — три попарно различных действительных числа. Найдите наибольшее возможное при этом условии значение $x$, являющегося корнем уравнения \[ a^2(x-b)(b-c)(c-x)+b^2(a-x)(x-c)(c-a)+c^2(a-b)(b-x)(x-a)=100(a-b)(b-c)(c-a). \]
Ответ:
Решение:
Найдите все целочисленные значения $a$, $b$, $c$ такие, что существуют три различных корня уравнения \[ x^3+(8+b)x^2+(b+4)x+(c+3)=0, \] которые являются корнями уравнения \[ x^4+5x^3+ax^2+bx+c=0. \]
Ответ:
Решение:
При каких значениях $a$, $b$ и $c$ множество действительных корней уравнения \[ x^5+2x^4+ax^2+b=cx \] состоит в точности из чисел $-1$ и $1$?
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметров $a$, $b$ и $c$, при которых множество действительных корней уравнения $x^5+4x^4+ax^2=bx+4c$ состоит ровно из двух чисел 2 и $-2$.
Ответ:
Решение:
Существуют ли такое натуральное $n$ и такой многочлен $P(x)$ степени $n$, имеющий $n$ различных действительных корней, что при всех действительных $x$ выполнено равенство
а) $P(x)P(x+1)=P(x^2)$;
б) $P(x)P(x+1)=P(x^2+1)$?
а) $P(x)P(x+1)=P(x^2)$;
б) $P(x)P(x+1)=P(x^2+1)$?
Ответ:
Решение:
Все коэффициенты квадратного трёхчлена — нечётные целые числа. Докажите, что у него нет корней вида $1/n$, где $n$ — натуральное число.
Ответ:
Решение:
Сравните между собой наименьшие положительные корни многочленов $x^{2011}+2011x-1$ и $x^{2011}-2011x+1$.
Ответ:
Решение:
При каком наибольшем значении параметра $a$ коэффициент при $x^4$ в разложении многочлена $\left(1-2x+ax^2\right)^8$ будет равен $-1540$?
Ответ:
Решение:
Определите значение функции \[ f(x)=x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \] в точке $x=2018$, если $f(2019)=f(2023)=0$, $f(2020)=f(2022)=3$, $f(2021)=4$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Даны три функции: \[ \begin{aligned} f_1(x)&=(x+a_1)\left(x^2+b_1x+6\right),\\ f_2(x)&=(x+a_2)\left(x^2+b_2x+8\right),\\ f_3(x)&=(x+a_3)\left(x^2+b_3x+12\right). \end{aligned} \] Все числа $a$ и $b$ положительны, а также для каждого действительного $x$ выполняется условие $f_1(x)=f_2(x)=f_3(x)$. Найти значение суммы $a_1+b_1+a_2+b_2+a_3+b_3$.
Ответ:
Решение:
Многочлен $a_{2014}x^{2014}+a_{2013}x^{2013}+\ldots+a_1x+a_0$ при всех значениях $x$ совпадает с функцией\[y=\frac{(x-1)(x-2)\ldots(x-2014)}{2014!}.\]Найдите сумму чисел $a_2+a_4+\ldots+a_{2014}$.
Ответ:
Решение:
Найти приведенный многочлен $P(x)$ (коэффициент при старшей степени $x$ равен $1$), для которого справедливо тождество $xP(x-1)=(x-3)P(x)$ по переменной $x$.
Ответ:
Решение:
Найти многочлен $P(x)$ степени $2020$, для которого $P(5)=2019$, $P(6)=2021$ и $P(4+x)=P(8-x)$ для всех $x$.
Ответ:
Решение: