Какие значения может принимать выражение $x_1^2+x_1x_2+x_2^2$, где $x_1$ и $x_2$ — несовпадающие между собой корни уравнения $x^3-2015x+2016=0$?
Ответ:
Решение:
Приведите пример такого квадратного трёхчлена $P(x)$, что при любом $x$ справедливо равенство \[ P(x)+P(x+1)+\ldots+P(x+10)=x^2. \]
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $P(x)=\frac{1}{16}\left(4x^5-x^3+1\right)^3\left(x^4-x+2\right)$. Найдите все натуральные решения уравнения $Ax+By=37$, где $A$ — сумма коэффициентов многочлена $P(x)$, стоящих при четных степенях $x$, $B$ — сумма коэффициентов многочлена $P(x)$, стоящих при нечетных степенях $x$.
Ответ:
Решение:
Про многочлен \[q(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5\] известно, что каждый из коэффициентов $a_0,\ldots,a_5$ равен либо $+1$, либо $-1$, а значение $q(2)=-37$. Найдите $q(-3)$.
Ответ:
Решение:
Для какого наибольшего числа $N$ существуют такие числа $m$ и $k$, что $N=m+k$, а уравнения \[x^3-11x=m\quad\text{и}\quad x^2-2x=k\] имеют два общих корня?
Ответ:
Решение:
Про многочлен \[ q(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+a_6x^6 \] известно, что каждый из коэффициентов $a_0,\ldots,a_6$ по модулю равен 0, 1 или 2, а значение $q(3)=546$. Найдите максимально возможное значение $q(4)$.
Ответ:
Решение:
Для какого наибольшего числа $N$ существуют такие числа $m$ и $k$, что $N=m+k$, а уравнения \[ x^3-3x^2-2x=m\quad\text{и}\quad x^3+4x^2-9x=k \] имеют два общих корня?
Ответ:
Решение:
Найти многочлен $P(x)$ степени $2020$, для которого $P(5)=2019$, $P(6)=2021$ и $P(4+x)=P(8-x)$ для всех $x$.
Ответ:
Решение:
Найти приведенный многочлен $P(x)$ (коэффициент при старшей степени $x$ равен $1$), для которого справедливо тождество $xP(x-1)=(x-3)P(x)$ по переменной $x$.
Ответ:
Решение:
Многочлен $a_{2014}x^{2014}+a_{2013}x^{2013}+\ldots+a_1x+a_0$ при всех значениях $x$ совпадает с функцией\[y=\frac{(x-1)(x-2)\ldots(x-2014)}{2014!}.\]Найдите сумму чисел $a_2+a_4+\ldots+a_{2014}$.
Ответ:
Решение:
Даны три функции: \[ \begin{aligned} f_1(x)&=(x+a_1)\left(x^2+b_1x+6\right),\\ f_2(x)&=(x+a_2)\left(x^2+b_2x+8\right),\\ f_3(x)&=(x+a_3)\left(x^2+b_3x+12\right). \end{aligned} \] Все числа $a$ и $b$ положительны, а также для каждого действительного $x$ выполняется условие $f_1(x)=f_2(x)=f_3(x)$. Найти значение суммы $a_1+b_1+a_2+b_2+a_3+b_3$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Определите значение функции \[ f(x)=x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \] в точке $x=2018$, если $f(2019)=f(2023)=0$, $f(2020)=f(2022)=3$, $f(2021)=4$.
Ответ:
Решение:
При каком наибольшем значении параметра $a$ коэффициент при $x^4$ в разложении многочлена $\left(1-2x+ax^2\right)^8$ будет равен $-1540$?
Ответ:
Решение:
Сравните между собой наименьшие положительные корни многочленов $x^{2011}+2011x-1$ и $x^{2011}-2011x+1$.
Ответ:
Решение:
Все коэффициенты квадратного трёхчлена — нечётные целые числа. Докажите, что у него нет корней вида $1/n$, где $n$ — натуральное число.
Ответ:
Решение:
Существуют ли такое натуральное $n$ и такой многочлен $P(x)$ степени $n$, имеющий $n$ различных действительных корней, что при всех действительных $x$ выполнено равенство
а) $P(x)P(x+1)=P(x^2)$;
б) $P(x)P(x+1)=P(x^2+1)$?
а) $P(x)P(x+1)=P(x^2)$;
б) $P(x)P(x+1)=P(x^2+1)$?
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметров $a$, $b$ и $c$, при которых множество действительных корней уравнения $x^5+4x^4+ax^2=bx+4c$ состоит ровно из двух чисел 2 и $-2$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях $a$, $b$ и $c$ множество действительных корней уравнения \[ x^5+2x^4+ax^2+b=cx \] состоит в точности из чисел $-1$ и $1$?
Ответ:
Решение:
Найдите все целочисленные значения $a$, $b$, $c$ такие, что существуют три различных корня уравнения \[ x^3+(8+b)x^2+(b+4)x+(c+3)=0, \] которые являются корнями уравнения \[ x^4+5x^3+ax^2+bx+c=0. \]
Ответ:
Решение: