Приведённый квадратный трёхчлен $f(x)$ таков, что каждое из уравнений $f(x)=2x-5$ и $f(x)=10-4x$ имеет ровно по одному решению. При каком наибольшем значении параметра $a$ уравнение $f(x)=a$ также будет иметь ровно одно решение?
Ответ:
Решение:
Пусть $f(x)=ax^2+bx+2$, $a\lt 0$ и $f(10)=0$. Какое наибольшее количество целочисленных решений может иметь неравенство $ax^4+bx^2+2\gt 0$?
Ответ:
Решение:
Про квадратичную функцию $f(x)=ax^2+bx+2$ известно, что \[ a\lt 0\quad\text{и}\quad f(7)=0. \] Какое наибольшее количество целых чисел может быть решением неравенства $ax^4+bx^2+2\gt 0$?
Ответ:
Решение:
Сколько существует квадратных трехчленов вида \[ x^2+ax+b \] с действительными корнями, у которых коэффициенты $a$, $b$ — натуральные числа такие, что $ab=2^{465}$?
Ответ:
Решение:
Дан приведённый квадратный трёхчлен $f(x)$ такой, что
- уравнение $f(x)=2x^2$ имеет единственное решение,
- а также уравнение $f(x)=-8$ имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
Квадратный трехчлен $y=ax^2+bx+c$ имеет корень $x=1$. Если его коэффициенты увеличить на единицу, то он будет иметь корень $x=2$. Если еще раз увеличить коэффициенты на единицу, то среди его корней будет $x=3$. Найти квадратный трехчлен.
Ответ:
Решение:
Представить квадратный трехчлен $P(x)=x^2+4x-5$ в виде суммы двух квадратных трехчленов с нулевыми дискриминантами.
Ответ:
Решение:
Что больше: $\mathrm{tg}\,\dfrac{11\pi}{6}$ или меньший корень квадратного трёхчлена $11x^2-17x-13$?
Ответ:
Решение:
Известно, что сумма любых двух из трёх квадратных трёхчленов $x^2+ax+b$, $x^2+cx+d$, $x^2+ex+f$ не имеет корней. Может ли сумма всех этих трёхчленов иметь корни?
Ответ:
Решение:
Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов. Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.
Ответ:
Решение:
Квадратный трёхчлен $f(x)=ax^2+bx+c$ принимает в точках $1/a$ и $c$ значения разных знаков. Докажите, что корни трёхчлена $f(x)$ имеют разные знаки.
Ответ:
Решение:
Квадратный трёхчлен $f(x)$ имеет один корень. Кроме того, уравнение \[ f(3x+4)+f(-2x+14)=0 \] имеет корень. Найдите корень квадратного трёхчлена $f(2x+2)$.
Ответ:
Решение:
Пусть $f(x)=ax^2+bx+2$, $a\lt 0$ и $f(8)=0$. Какое наибольшее количество целочисленных решений может иметь неравенство $ax^4+bx^2+2\gt 0$?
Ответ:
Решение:
Ненулевые целые числа $a$, $b$, $c$ являются тремя последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. Все шесть квадратных уравнений, коэффициентами которых являются числа $a$, $b$, $c$, взятые в произвольном порядке, имеют два корня. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение разности прогрессии и соответствующие ей числа $a$, $b$, $c$.
Ответ:
Решение:
Дано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ с целыми ненулевыми коэффициентами $a$, $b$ и $c$, имеющее целый корень. Может ли оказаться, что если увеличить любой из этих трёх коэффициентов на $1$, то полученное уравнение останется квадратным и также будет иметь целый корень?
Ответ:
Решение:
Сколько существует троек чисел $a$, $b$, $c$, каждое из которых служит корнем соответствующего уравнения $ax^2+bx+c=0$?
Ответ:
Решение:
Даны квадратный трёхчлен $f(x)$ и линейная функция $\ell(x)$ такая, что $\ell(1)=2$. Известно, что функция $g(x)=f\bigl(\ell(x)\bigr)-\ell\bigl(f(x)\bigr)$ принимает все действительные значения и $g(0)=5$. Найдите $f(1)$, если $f(0)=7$.
Ответ:
Решение:
$a_n$ — арифметическая прогрессия, $p_n(x)=a_nx^3-(a_n+1)x^2-(6a_n-1)x+6$ — многочлен, для которого $p_n(2)=-16n-4$ для всех натуральных $n$. Найти сумму корней уравнения $p_5(x)\cdot p_6(x)\cdot p_7(x)=0$.
Ответ:
Решение:
Петя написал на бумаге некоторый многочлен с неотрицательными целыми коэффициентами и думал, что Вася, задав только два вопроса Пете по телефону, никогда не сможет определить все коэффициенты многочлена. На первый Васин вопрос: «Чему равно значение многочлена при $x=3$?» Петя ответил «$49$». На второй Васин вопрос: «Чему равно значение многочлена при $x=49$?» был получен ответ «$122455$». Вася, немного подумав, назвал Пете все коэффициенты многочлена, который он написал. Какой многочлен придумал Петя?
Ответ:
Решение:
Доказать, что число $x_1=-\sin\dfrac{\pi}{18}$ является корнем кубического уравнения \[ 8x^3-6x-1=0. \] Найти два других его корня.
Ответ:
Решение: