Про коэффициенты $a$, $b$, $c$ и $d$ двух квадратных трёхчленов $x^2+bx+c$ и $x^2+ax+d$ известно, что $0\lt a\lt b\lt c\lt d$. Могут ли эти трёхчлены иметь общий корень?
Ответ:
Решение:
Даны два уравнения $ax^2+bx+c=0$ и $cx^2+bx+a=0$, в которых все коэффициенты ненулевые. Оказалось, что они имеют общий корень. Верно ли, что $a=c$?
Ответ:
Решение:
Графики функций $y=ax^2$, $y=bx$ и $y=c$ пересекаются в точке, расположенной выше оси абсцисс. Определите, сколько корней может иметь уравнение $ax^2+bx+c=0$.
Ответ:
Решение:
Разность корней квадратного уравнения с действительными коэффициентами \[2018x^2+ax+b=0\] — целое число (при этом сами корни необязательно целые). Докажите, что дискриминант этого уравнения делится на $2018^2$.
Ответ:
Решение:
У уравнений $x^2+2019ax+b=0$ и $x^2+2019bx+a=0$ есть один общий корень. Чему может быть равен этот корень, если известно, что $a\neq b$?
Ответ:
Решение:
Даны три квадратных трёхчлена: $x^2+b_1x+c_1$, $x^2+b_2x+c_2$ и $x^2+\frac{b_1+b_2}{2}x+\frac{c_1+c_2}{2}$. Известно, что их сумма имеет корни (возможно, два совпадающих). Докажите, что хотя бы у двух из этих трёхчленов также есть корни (возможно, два совпадающих).
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости изображены графики функций $y=x^2+bx+c$ и $y=x^2+cx+b$. Найдите значения $b$ и $c$. В ответе запишите уравнения каждой из функций.
Ответ:
Решение:
Целые числа $a$ и $b$ таковы, что у квадратных трёхчленов $x^2+ax+b$ и $x^2+bx+1100$ есть общий корень, являющийся простым числом. Найдите $a$. Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Три приведённых квадратных трёхчлена имеют одинаковые дискриминанты, большие 0. Все корни этих трёхчленов упорядочили по возрастанию, и получилось 6 различных целых чисел: \[x_1\lt x_2\lt x_3\lt x_4\lt x_5\lt x_6.\] Известно, что $x_1=1$, $x_2=11$, $x_3=12$, $x_6=23$. Найдите $x_4$ и $x_5$.
Ответ:
Решение:
Квадратный трёхчлен $f(x)$ имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел $a$ и $b$ верно неравенство \[ f\left(a^2+b^2\right)\geqslant f(2ab). \] Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена — отрицательный.
Ответ:
Решение:
Даны квадратные трёхчлены $f_1(x)$, $f_2(x)$, $\ldots$, $f_{100}(x)$ с одинаковыми коэффициентами при $x^2$, одинаковыми коэффициентами при $x$, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена $f_i(x)$ выбрали один корень и обозначили его через $x_i$. Какие значения может принимать сумма $f_2(x_1)+f_3(x_2)+\ldots+f_{100}(x_{99})+f_1(x_{100})$?
Ответ:
Решение:
Известно, что каждый из трёхчленов $x^2+ax+b$ и $x^2+ax+b+1$ имеет хотя бы по одному корню, и все корни этих трёхчленов целые. Докажите, что трёхчлен $x^2+ax+b+2$ корней не имеет.
Ответ:
Решение:
Дан квадратный трехчлен $P(x)$. Докажите, что существуют попарно различные числа $a$, $b$ и $c$ такие, что выполняются равенства \[ P(b+c)=P(a),\quad P(c+a)=P(b),\quad P(a+b)=P(c). \]
Ответ:
Решение:
На доске записано 7 различных чисел, сумма которых равна 10. Петя умножил каждое из них на сумму остальных шести и записал 7 полученных произведений в тетрадь. Оказалось, что в тетради встречаются только четыре различных числа. Найдите одно из чисел, записанных на доске.
Ответ:
Решение:
Даны квадратные трехчлены $P(x)$ и $Q(x)$; обозначим $p_n=P(n)$ и $q_n=Q(n)$. Раз в минуту Саша рисует на координатной плоскости прямую:
- на первой минуте — прямую с уравнением $y=p_1x+q_1$,
- на второй — с уравнением $y=p_2x+q_2$,
- $\ldots$,
- на $i$-й минуте — с уравнением $y=p_ix+q_i$.
Ответ:
Решение:
Коэффициенты $a$, $b$, $c$ квадратного трёхчлена $f(x)=ax^2+bx+c$ — натуральные числа, сумма которых равна 2000. Паша может изменить любой коэффициент на 1, заплатив 1 рубль. Докажите, что он может получить квадратный трёхчлен, имеющий хотя бы один целый корень, заплатив не более 1050 рублей.
Ответ:
Решение:
Числа $b\gt 0$ и $a$ таковы, что квадратный трехчлен $x^2+ax+b$ имеет два различных корня, ровно один из которых лежит на отрезке $[-1;1]$. Докажите, что ровно один из этих корней лежит в интервале $(-b;b)$.
Ответ:
Решение:
Дан квадратный трёхчлен $P(x)$, не обязательно с целыми коэффициентами. Известно, что при некоторых целых $a$ и $b$ разность $P(a)-P(b)$ является квадратом натурального числа. Докажите, что существует более миллиона таких пар целых чисел $(c,d)$, что разность $P(c)-P(d)$ также является квадратом натурального числа.
Ответ:
Решение:
Даны два приведённых квадратных трёхчлена $f(x)$ и $g(x)$; известно, что трёхчлены $f(x)$, $g(x)$ и $f(x)+g(x)$ имеют по два корня. Оказалось, что разность корней трёхчлена $f(x)$ равна разности корней трёхчлена $g(x)$. Докажите, что разность корней трёхчлена $f(x)+g(x)$ не больше этих разностей. (В каждой разности из большего корня вычитается меньший.)
Ответ:
Решение: