Некоторые числа $x$ и $y$ удовлетворяют соотношению \[ 7(x^3+y^3)+11(x+y)^3-63xy+486=0. \] Найдите максимально возможное значение суммы $x+y$.
Ответ:
Решение:
Даны положительные числа $a$ и $b$, удовлетворяющие условию \[a^3+ab-b^3=(a+b)^2.\] Чему может быть равна разность $a-b$?
Ответ:
Решение:
Квантовый компьютер расходует 1 кВт/ч электроэнергии на каждую сделанную им операцию умножения или сложения. При этом он умеет хранить результаты промежуточных действий. Докажите, что для любых пяти хранящихся в компьютере чисел $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ можно найти сумму \[ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de,\] затратив не более 10 кВт/ч.
Ответ:
Решение:
У Олега есть четыре карточки, на каждой из которых с одной и с другой стороны написаны натуральные числа (всего написано 8 чисел). Он рассматривает всевозможные четвёрки чисел, где первое число написано на первой карточке, второе — на второй, третье — на третьей, четвёртое — на четвёртой. Затем для каждой четвёрки он выписывает произведение чисел к себе в блокнот. Чему равна сумма восьми чисел на карточках, если сумма шестнадцати чисел в блокноте Олега равна 330?
Ответ:
Решение:
Целые числа $x$, $y$, $z$, $t$ таковы, что \[x+y+z+t=0.\] Сколько различных натуральных значений, не превосходящих 10 000, может принимать число \[(xy-zt)(xz-yt)(yz-xt)?\]
Ответ:
Решение:
Подберите такие не равные нулю числа $n$ и $m$, чтобы равенство \[ (n\cdot5^n)^n=m\cdot5^9 \] было верным.
Ответ:
Решение:
Произведение положительных чисел $a$ и $b$ равно 1. Известно, что \[(3a+2b)(3b+2a)=295.\] Найдите $a+b$.
Ответ:
Решение:
Если длину прямоугольного поля увеличить на 20 м, а ширину увеличить на 8 м, то его площадь увеличится на 9280 м$^2$. На сколько уменьшится площадь поля, если его длину уменьшить на 20 м, а ширину уменьшить на 8 м? Ответ выразите в квадратных метрах.
Ответ:
Решение:
Четыре числа $a$, $b$, $c$ и $d$ таковы, что верна пропорция \[\frac{a-b}{c-d}=\frac{a+b}{c+d}\quad\text{и}\quad ad=60.\] Найдите произведение всех четырех чисел.
Ответ:
Решение:
Известно, что $a^2+b=b^2+c=c^2+a$. Какие значения может принимать выражение \[a(a^2-b^2)+b(b^2-c^2)+c(c^2-a^2)\,?\]
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие попарно различные числа $a$, $b$ и $c$, что число $a$ является корнем квадратного трёхчлена $x^2-2bx+c^2$, число $b$ является корнем квадратного трёхчлена $x^2-2cx+a^2$, а число $c$ является корнем квадратного трёхчлена $x^2-2ax+b^2$?
Ответ:
Решение:
В каждую клетку таблицы $2\times2$ вписано по одному числу. Все числа различны,
- сумма чисел в первой строке равна сумме чисел во второй строке,
- а произведение чисел в первом столбце равно произведению чисел во втором столбце.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Дан набор чисел $\{-1,-2,-3,\ldots,-26\}$. На доску выписали всевозможные подмножества данного набора, в которых есть хотя бы 2 числа. Для каждого выписанного подмножества вычислили произведение всех чисел, принадлежащих данному подмножеству. Чему равна сумма всех этих произведений?
Ответ:
Решение:
Про действительные ненулевые числа $a$, $b$, $c$ известно, что \[a^2-bc=b^2-ac=c^2-ab.\]
1. Какие положительные значения может принимать выражение \[\frac{a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}?\] Укажите все возможные варианты. Если выражение не может принимать положительные значения, то в качестве ответа напишите 0.
2. Какие отрицательные значения может принимать выражение \[\frac{a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}?\] Укажите все возможные варианты. Если выражение не может принимать отрицательные значения, то в качестве ответа напишите 0.
1. Какие положительные значения может принимать выражение \[\frac{a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}?\] Укажите все возможные варианты. Если выражение не может принимать положительные значения, то в качестве ответа напишите 0.
2. Какие отрицательные значения может принимать выражение \[\frac{a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}?\] Укажите все возможные варианты. Если выражение не может принимать отрицательные значения, то в качестве ответа напишите 0.
Ответ:
Решение:
Докажите, что число \[12345678987654321^2\cdot987654321012345679^2+\left(12345678987654321^2+987654321012345679^2\right)\cdot10^{36}\] является квадратом целого числа.
Ответ:
Решение:
Сумма четырех целых чисел равна 0. Числа расставили по кругу и каждое умножили на сумму двух его соседей. Докажите, что сумма этих четырех произведений, умноженная на $-1$, равна удвоенному квадрату целого числа.
Ответ:
Решение:
Два числа таковы, что их сумма, сумма их квадратов и сумма их кубов равны одному и тому же числу $m$. Докажите, что сумма четвёртых степеней этих чисел тоже равна $m$.
Ответ:
Решение:
Даны три положительных числа: $a$, $b$, $c$.
- Петя записал на доске числа $\dfrac{1}{a}+bc$, $\dfrac{1}{b}+ac$, $\dfrac{1}{c}+ab$,
- а Вася — числа $2a^2$, $2b^2$, $2c^2$.
Ответ:
Решение:
Найдите три нецелых положительных числа $a$, $b$, $c$ таких, что все числа \[ \frac{a+b}{a-b},\quad \frac{b+c}{b-c},\quad \frac{c+a}{c-a} \] являются целыми.
Ответ:
Решение: