Окружность $C_1$ радиуса $2\sqrt{6}$ с центром $O_1$ и окружность $C_2$ радиуса $\sqrt{6}$ с центром $O_2$ расположены так, что $O_1O_2=\sqrt{70}$. Прямая $l_1$ касается окружностей в точках $A_1$ и $A_2$, а прямая $l_2$ — в точках $B_1$ и $B_2$. Окружности $C_1$ и $C_2$ лежат по одну сторону от прямой $l_1$ и по разные стороны от прямой $l_2$, $A_1\in C_1$, $B_1\in C_1$, $A_2\in C_2$, $B_2\in C_2$, точки $A_1$ и $B_1$ лежат по разные стороны относительно прямой $O_1O_2$. Через точку $B_2$ проведена прямая $l_3$, перпендикулярная прямой $l_2$. Прямая $l_1$ пересекает прямую $l_2$ в точке $A$, а прямую $l_3$ — в точке $B$. Найти $A_1A_2$, $B_1B_2$ и стороны треугольника $ABB_2$.
Ответ:
Решение:
Окружности $C_1$ и $C_2$ внешне касаются в точке $A$. Прямая $\ell$ касается окружности $C_1$ в точке $B$, а окружности $C_2$ — в точке $D$. Через точку $A$ проведены две прямые: одна проходит через точку $B$ и пересекает окружность $C_2$ в точке $F$, а другая касается окружностей $C_1$ и $C_2$ и пересекает прямую $\ell$ в точке $E$. Найти радиусы окружностей $C_1$ и $C_2$, если $AF=3\sqrt{2}$, $BE=\sqrt{5}$.
Ответ:
Решение:
Окружность касается сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $A$ и $B$ соответственно. На дуге этой окружности, лежащей вне треугольника, расположена точка $K$ так, что расстояния от нее до продолжений сторон $AC$ и $BC$ равны 39 и 156 соответственно. Найти расстояние от точки $K$ до прямой $AB$.
Ответ:
Решение:
Равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписан в окружность. Прямая $CD$, перпендикулярная $AB$, пересекает окружность в точке $P$. Касательная к окружности, проходящая через точку $P$, пересекает прямую $AB$ в точке $Q$. Найти длины отрезков $PA$ и $PQ$, если $AC=5$, $\angle ABC=2\arccos\sqrt{\frac56}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $\pi-\arcsin(8/17)$, а длина стороны $BC$ равна $8$. На продолжении $CB$ за точку $B$ взята точка $D$ так, что $BD=1$. Найти радиус окружности, проходящей через вершину $A$, касающейся прямой $BC$ в точке $D$ и касающейся окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Высота $BH$ треугольника $ABC$ является диаметром окружности, которая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Прямые, касающиеся этой окружности в точках $D$ и $E$, пересекаются в точке $F$. Прямая $BF$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Найдите отношение $AK:KC$ и длины отрезков $DF$ и $BK$, если $BH=12$, $AD=\dfrac{25}{13}$, $CE=\dfrac{27}{5}$.
Ответ:
Решение:
В острый угол вписали 1-ю окружность радиуса 2020 мм, затем вписали 2-ю окружность меньшего радиуса так, что она касается предыдущей, после вписали в угол третью окружность так, что она касается второй, и т. д. Укажите номер окружности наибольшего радиуса среди тех, у которых радиус меньше 1 мм, если косинус данного угла равен $7/9$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ боковая сторона $AB$ равна $2$, отрезок $AD$ является биссектрисой. Через точку $D$ проведена касательная $DH$ к окружности, описанной около треугольника $ADB$, точка $H$ лежит на стороне $AC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $CD=CH\sqrt2$.
Ответ:
Решение:
Окружность радиуса $4$ касается сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, а окружность радиуса $12$ внешним образом касается первой окружности и сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$. Общая касательная к этим окружностям, не содержащая сторону $BC$, пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите площадь треугольника $AMN$, если $\angle AMN=30^\circ$, $\angle ANM=90^\circ$.
Ответ:
Решение:
Окружность радиуса $1$ касается сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, а окружность радиуса $3$ внешним образом касается первой окружности и сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$. Общая касательная к этим окружностям, не содержащая сторону $BC$, пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите длины сторон треугольника $ABC$, если $\angle AMN=30^\circ$, $\angle ANM=90^\circ$.
Ответ:
Решение:
В угол $60^\circ$ вписана окружность радиуса $1$. Вторая окружность касается сторон угла и первой окружности. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и одной из сторон угла.
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. Касательная $\ell$ к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $K$. Докажите, что описанная окружность треугольника $MKN$ касается $\ell$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $KLMN$ с основаниями $KN$ и $LM$ известен угол $LMN$, равный $60^\circ$. Около треугольника $KLN$ описана окружность, касающаяся прямых $LM$ и $MN$. Найдите радиус окружности, если известно, что периметр треугольника $KLN$ равен 12.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ известен угол $BCD$, равный $120^\circ$. В этот угол вписана окружность радиуса 1, проходящая через точки $A$, $B$ и $D$. Найдите площадь треугольника $ABD$.
Ответ:
Решение:
Окружность касается одной из сторон угла с вершиной $A$ в точке $B$ и пересекает вторую сторону в точках $C$ и $D$, причём $AD$ в три раза меньше $AC$. Косинус угла $A$ равен $\sqrt3/4$.
а) Найдите отношение $BC:BD$.
б) Найдите отношение радиуса окружности к $BD$.
а) Найдите отношение $BC:BD$.
б) Найдите отношение радиуса окружности к $BD$.
Ответ:
Решение:
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен $2/\sqrt5$. Через середины одного катета и гипотенузы провели окружность, касающуюся другого катета. Найдите отношение части гипотенузы, лежащей внутри получившегося круга, ко всей гипотенузе.
Ответ:
Решение:
Вокруг равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $BC=a$ и высотой $AH=h$ описана окружность $\omega_1$. В угол $BAC$ вписана окружность $\omega_2$, касающаяся окружности $\omega_1$ изнутри и касающаяся сторон угла в точках $P$ и $Q$. Определите, в каком отношении отрезок $PQ$ делит высоту $AH$.
Ответ:
Решение:
Две окружности радиусов $R$ и $R'$ касаются друг друга внешним образом в точке $P$ и касаются прямой $l$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Пусть $Q$ — точка пересечения прямой $BP$ с первой окружностью. Определить, на каком расстоянии от прямой $l$ расположена точка $Q$.
Ответ:
Решение:
Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке $K$. Хорда $AB$ большей окружности касается меньшей окружности в точке $L$, делящей хорду в отношении $AL:BL=2:3$. Найдите $AK$, если $BK=12$.
Ответ:
Решение:
Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Отрезок $AB$ является диаметром первой окружности, а отрезок $BC$ — диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку $A$, пересекает первую окружность в точке $D$ и касается второй окружности в точке $E$, при этом $BD=9$ и $BE=12$. Найдите радиусы окружностей.
Ответ:
Решение: