Таня задумала две такие цифры $a$ и $b$, что составленное из них двузначное число является простым и произведение двух четырёхзначных чисел $\overline{793a}$ и $\overline{1b09}$ при делении на 11 дает в остатке 1. Определите все возможные значения получающегося простого числа.
Ответ:
Решение:
Толя задумал две такие цифры $a$ и $b$, что составленное из них двузначное число является простым и произведение двух четырёхзначных чисел $\overline{180a}$ и $\overline{4b78}$ при делении на $11$ дает в остатке $1$. Определите все возможные значения получающегося простого числа.
Ответ:
Решение:
Существует ли такой квадратный трёхчлен $f(x)=ax^2+bx+c$ с целыми коэффициентами и $a$, не кратным $2014$, что все числа $f(1)$, $f(2)$, …, $f(2014)$ имеют различные остатки при делении на $2014$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
На экране компьютера напечатано натуральное число, делящееся на 7, а курсор находится в промежутке между некоторыми двумя его соседними цифрами. Докажите, что существует такая цифра, что, если её впечатать в этот промежуток любое число раз, то все получившиеся числа также будут делиться на 7.
Ответ:
Решение:
Между двумя восьмёрками в числе 88 вписали несколько нулей. Докажите, что можно всегда дописать слева в начало нового числа ещё несколько цифр так, чтобы получилось число, которое является полным кубом.
Ответ:
Решение:
а) Имеют ли общие члены две последовательности: $3;\ 16;\ 29;\ 42;\ \ldots$ и $2;\ 19;\ 36;\ 53;\ \ldots$? (если да — привести пример, если нет — объяснить почему)
б) Имеют ли общие члены две последовательности: $5;\ 16;\ 27;\ 38\ \ldots$ и $8;\ 19;\ 30;\ 41;\ \ldots$? (если да — привести пример, если нет — объяснить почему)
в) Определите, какое наибольшее количество общих членов может быть у арифметических прогрессий $1;\ \ldots;\ 1000$ и $9;\ \ldots;\ 999$ если известно, что у каждой из них разность является целым числом, отличным от 1.
б) Имеют ли общие члены две последовательности: $5;\ 16;\ 27;\ 38\ \ldots$ и $8;\ 19;\ 30;\ 41;\ \ldots$? (если да — привести пример, если нет — объяснить почему)
в) Определите, какое наибольшее количество общих членов может быть у арифметических прогрессий $1;\ \ldots;\ 1000$ и $9;\ \ldots;\ 999$ если известно, что у каждой из них разность является целым числом, отличным от 1.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число $m$, при котором выражение $148^n+m\cdot141^n$ делится на 2023 при любом нечетном натуральном $n$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее число из натуральных чисел, превосходящих 2022 и делящих нацело число $2021!!+2022!!$
Символом $n!!$ обозначается произведение всех натуральных чисел, не превосходящих $n$ и имеющих ту же чётность: \[ n!!=n\cdot(n-2)\cdot(n-4)\cdot\ldots. \]
Символом $n!!$ обозначается произведение всех натуральных чисел, не превосходящих $n$ и имеющих ту же чётность: \[ n!!=n\cdot(n-2)\cdot(n-4)\cdot\ldots. \]
Ответ:
Решение:
Дано число $a=2^{2002}+3^{2002}$. Найти последнюю цифру числа $a$ и остаток от деления числа $a$ на 11.
Ответ:
Решение:
Прямоугольный треугольник называется пифагоровым, если длины всех его сторон — натуральные числа. Найдите наибольшее целое число, на которое делится произведение длин сторон любого пифагорова треугольника.
Ответ:
Решение:
Дан набор из $n$ гирь, самая легкая весит $3$ грамма, каждая следующая имеет вес на $1$ грамм меньший, чем удвоенный вес предыдущей гири. Найдите все $n$, $9\lt n\lt 16$, для которых все гири можно расположить на двух чашах весов так, чтобы весы пришли в равновесие.
Ответ:
Решение:
Найдите все такие пары натуральных чисел $a$ и $k$, что для всякого натурального $n$, взаимно простого с $a$, число $a^{k^n+1}-1$ делится на $n$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число $N\gt 9$, которое не делится на 7, но если вместо любой его цифры поставить семёрку, то получится число, которое делится на 7.
Ответ:
Решение:
Таня последовательно выписывала числа вида $n^7-1$ для натуральных чисел $n=2,3,\ldots$ и заметила, что полученное при $n=8$ число делится на 337. А при каком наименьшем $n\gt 1$ она получит число, делящееся на 2022?
Ответ:
Решение:
Обозначим через $S(n,k)$ количество не делящихся на $k$ коэффициентов разложения многочлена $(x+1)^n$ по степеням $x$.
а) Найдите $S(2012,3)$.
б) Докажите, что $S(2012^{2011},2011)$ делится на $2012$.
а) Найдите $S(2012,3)$.
б) Докажите, что $S(2012^{2011},2011)$ делится на $2012$.
Ответ:
Решение:
Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, $a\lt N$. Число $a$ он написал на доске. Затем он начал выполнять следующую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число, а полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число 0, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных чисел была больше $100N$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: