В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Известно, что центры вписанной в треугольник $ABD$ и описанной около треугольника $ABC$ совпадают. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $CD=4$. Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к ним.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Известно, что центры вписанной в треугольник $ABD$ и описанной около треугольника $ABC$ совпадают. Найдите $CD$, если $AC=\sqrt5+1$. Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к ним.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ длина биссектрисы угла $A$ равна 4, угол $A=60^\circ$. На серединном перпендикуляре к катету $CB$ в точке $Q$ лежит центр окружности, которая касается прямых $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Найдите площадь треугольника $OQM$, где точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$, сторона $AC$ равна $\sqrt2$. Описанная около треугольника $ABD$ окружность проходит через центр окружности, вписанной в треугольник $ACD$. Найдите площадь треугольника $ACD$, если $R_1:R_2=\sqrt3$, где $R_1$, $R_2$ — радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABD$ и $ACD$ соответственно.
Ответ:
Решение:
Окружность радиуса 2, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $BC$ в точке $D$. Окружность радиуса 4 касается продолжения сторон $AB$ и $AC$, а также стороны $BC$ в точке $E$. Найдите площадь треугольника $ADE$, если величина угла $ACB$ равна $120^\circ$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром $O_1$ радиуса 2 вписана в треугольник $ABC$. Вторая окружность с центром $O_2$ радиуса 4 касается продолжения сторон $AB$ и $AC$, а также стороны $BC$. Найдите площадь треугольника $O_1BO_2$, если величина угла $ACB$ равна $120^\circ$.
Ответ:
Решение:
Через центр $O$ вписанной в треугольник $ABC$ окружности проведена прямая, параллельная $AC$, которая пересекает его боковые стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Вторая окружность вписана в треугольник $MBK$ и касается его боковой стороны $MB$ в точке $E$, а первая окружность касается стороны $AB$ в точке $F$. Найдите длину отрезка $EF$, если периметр треугольника $MBK$ равен 6, а $AC=3$.
Ответ:
Решение:
На вписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся стороны $AC$ в точке $S$, нашлась такая точка $Q$, что середины отрезков $AQ$ и $QC$ также лежат на вписанной окружности. Докажите, что $QS$ — биссектриса угла $AQC$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике с периметром $60$ см точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности. Найдите стороны треугольника.
Ответ:
Решение:
Радиус вписанной в треугольник окружности равен $1$, а длины высот выражаются натуральными числами. Найдите стороны треугольника.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $O$, к которой проведена касательная, пересекающая стороны $AC$ и $AB$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите угол $A$ треугольника $ABC$, если $\angle MON=26^\circ$.
Ответ:
Решение:
Окружность радиуса 2 проходит через вершину $B$ треугольника $ABC$, через середину стороны $AB$ и через середину отрезка $BP$, где $P$ — точка пересечения биссектрисы угла $ABC$ и серединного перпендикуляра к стороне $AC$. Найдите длину $AC$, если известно, что $PC=2\sqrt{3}$.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Прямая $AO$ пересекает описанную окружность треугольника $OBC$ в точках $O$ и $M$. Найдите длину секущей $OM$, если $BC=6$, $AB:AC=3:1$, и $\angle BAC=60^\circ$.
Ответ:
Решение:
Точки $A$ и $B$ лежат на окружности с центром $O$ и радиусом 6, а точка $C$ равноудалена от точек $A$, $B$ и $O$. Другая окружность с центром $Q$ и радиусом 8 описана около треугольника $ACO$. Найдите $BQ$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$, площадь которого равна $20$, проведена медиана $CD$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если известно, что $AC=\sqrt{41}$, а центр окружности, вписанной в треугольник $ACD$, лежит на окружности, описанной около треугольника $BCD$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Продолжение отрезка $BO$ за точку $O$ пересекает описанную вокруг треугольника $ABC$ окружность в точке $D$. Найдите угол $B$, если $OD=4AC$.
Ответ:
Решение:
Точка $E$ лежит на стороне $AB$ прямоугольника $ABCD$, и при этом $\angle CED=90^\circ$. Точки $O$, $P$, $Q$ являются центрами окружностей, описанных около треугольников $ADE$, $BCE$, $CDE$ соответственно. Найдите площадь прямоугольника $ABCD$, если $OQ=20$, $OP=29$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с острыми углами при вершинах $A$ и $B$ проведена высота $CH$. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Площадь треугольника $AHM$ равна $90$, а радиус вписанной в него окружности равен $\dfrac{18}{5}$. Площадь треугольника $BHN$ равна $420$, а радиус вписанной в него окружности равен $\dfrac{42}{5}$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle B=90^\circ$) вписана окружность $\Gamma$ с центром $I$, которая касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $I$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите радиус окружности $\Gamma$, если $MK=144$, $NL=25$. Найдите $AC$, если дополнительно известно, что прямая $MN$ параллельна $AC$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром $O$, вписанная в треугольник $PQR$, касается его сторон $PQ$, $QR$ и $RP$ в точках $C$, $A$ и $B$ соответственно. Прямые $BO$ и $CO$ пересекают стороны $PQ$ и $PR$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Найдите отношение $QA:AR$, если $KQ=3$, $QR=16$, $LR=1$.
Ответ:
Решение: