В окружности радиуса $5\sqrt2$ проведены взаимно перпендикулярные хорды, которые точкой пересечения делятся в отношении $6:1$ и $2:3$. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения хорд.
Ответ:
Решение:
Через концы дуги $\overset{\frown}{AB}$, угловая величина которой равна $60^\circ$, проведены параллельные хорды $BC$ и $AD$, причём длина $BC$ в четыре раза меньше длины $AD$. Хорды $AB$ и $CD$ продолжены до пересечения в точке $E$. Найдите площадь треугольника $AED$, если известно, что $|AC|=30$.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$, пересекает сторону $AB$ в точке $E$ и сторону $BC$ в точке $F$. Найдите радиус окружности, если $AC=6$, $\angle AEC=5\angle BAF$, $\angle ABC=72^\circ$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. На отрезках $AB$ и $BC$ выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $AX=BY$. Оказалось, что точки $A$, $X$, $Y$ и $C$ лежат на одной окружности. Пусть $BL$ — биссектриса треугольника $ABC$ ($L$ на отрезке $AC$). Докажите, что $XL\parallel BC$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AB$ прямоугольника $ABCD$ выбрана точка $M$. Через эту точку проведён перпендикуляр к прямой $CM$, который пересекает сторону $AD$ в точке $E$. Точка $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $CE$. Найдите угол $APB$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$, где угол $B$ прямой, а угол $A$ меньше угла $C$, проведена медиана $BM$. На стороне $AC$ взята точка $L$ так, что $\angle ABM=\angle MBL$. Описанная окружность треугольника $BML$ пересекает сторону $AB$ в точке $N$. Докажите, что $AN=BL$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. Обозначим через $M$ середину стороны $AC$, а через $P$ — середину отрезка $CM$. Описанная окружность треугольника $ABP$ пересекает сторону $BC$ во внутренней точке $Q$. Докажите, что $\angle ABM=\angle MQP$.
Ответ:
Решение:
На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взяли произвольную точку $X$, а на боковых сторонах — точки $P$ и $Q$ так, что $XPBQ$ — параллелограмм. Докажите, что точка $Y$, симметричная точке $X$ относительно $PQ$, лежит на описанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Внутри трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $AM=CN$ и $BM=DN$, а четырёхугольники $AMND$ и $BMNC$ — вписанные. Докажите, что прямая $MN$ параллельна основаниям трапеции.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, $AH$ — его высота. Точка $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CO$. Докажите, что прямая $HP$ проходит через середину отрезка $AB$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $O$ — центр описанной окружности. Точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно стороны $AC$. Прямые $AO$ и $B_1C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что луч $KA$ является биссектрисой угла $BKB_1$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. На продолжении отрезка $LA$ за точку $A$ выбрана точка $K$ так, что $AK=AL$. Описанные окружности треугольников $BLK$ и $CLK$ пересекают отрезки $AC$ и $AB$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что прямые $PQ$ и $BC$ параллельны.
Ответ:
Решение:
Прямоугольники $ABCD$ и $DEFG$ расположены так, что точка $D$ лежит на отрезке $BF$, а точки $B$, $C$, $E$, $F$ лежат на одной окружности (см. рисунок).
Докажите, что $\angle ACE=\angle CEG$.
Докажите, что $\angle ACE=\angle CEG$.
Ответ:
Решение:
Пусть $ABCD$ — параллелограмм, отличный от прямоугольника, а точка $P$ выбрана внутри него так, что описанные окружности треугольников $PAB$ и $PCD$ имеют общую хорду, перпендикулярную $AD$. Докажите, что радиусы данных окружностей равны.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что $BK=5$, $KC=4$. Около треугольника $ABK$ описана окружность с центром в точке $O$, причем площадь треугольника $AOC$ равна $2\sqrt{15}$. Через точку $C$ и середину $D$ стороны $AB$ проведена прямая, которая пересекает окружность в точке $P$, причем $CP\gt CD$. Найдите $CD$, если $\angle APB=\angle BAC$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ высоты $AH_1$ и $BH_2$ пересекаются в точке $H$. Окружность $\omega$, описанная около треугольника $ABH$, пересекает сторону $BC$ в точке $N$. Известно, что $BN=12$, $CN=4$. Найти радиус окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ вершины $A$, $B$ и точка пересечения высот треугольника $E$ лежат на окружности, которая пересекает отрезок $BC$ в точке $D$. Найти радиус окружности, если $CD=4$, $BD=5$.
Ответ:
Решение:
Через точку $A$ проведены две прямые: одна из них касается окружности в точке $B$, а другая пересекает эту окружность в точках $C$ и $D$ так, что $D$ лежит на отрезке $AC$. Найти $AB$, $CD$ и радиус окружности, если $BC=4$, $BD=3$, $\angle BAC=\arccos\dfrac{1}{3}$.
Ответ:
Решение:
Окружность касается стороны $AD$ четырёхугольника $ABCD$ в точке $D$, а стороны $BC$ — в её середине $M$. Диагональ $AC$ пересекает окружность в точках $K$ и $L$ ($AK\lt AL$). Известно, что $AK=5$, $KL=4$, $LC=1$. Лучи $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $S$, причём $\angle ASB=120^\circ$. Найти радиус окружности и площадь $ABCD$.
Ответ:
Решение:
На медиане $AM$ треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ так, что $\angle BAC+\angle BKC=180^\circ$. Известно, что $AB=10$, $CK=4$, $AC=8$. Найдите $BK$.
Ответ:
Решение: