Основанием четырехугольной пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB=7$, $BC=3\sqrt7$ и углом $A$, равным $60^\circ$. Высотой пирамиды $SABCD$ является отрезок $SO$, где $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью, параллельной диагонали основания $BD$ и проходящей через середину ребра $SC$ и точку $P$, лежащую на высоте пирамиды $SO$, причем $SP=2PO$, если расстояние от точки $S$ до плоскости сечения равно $3\sqrt3/2$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырехугольной пирамиде $TABCD$ через центр основания $ABCD$ проведено сечение плоскостью параллельно медиане $AM$ боковой грани $TAB$ и апофеме $TK$ боковой грани $TCD$. Найдите объем пирамиды с вершиной в точке $T$, основанием которой является указанное выше сечение, если высота пирамиды $TABCD$ равна 12, а расстояние между прямой $AM$ и плоскостью сечения равно $\sqrt{3}$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь сечения правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ плоскостью, проходящей через вершину $C$ основания $ABCDEF$ и параллельной медиане $BM$ боковой грани $SAB$ и апофеме $SN$ боковой грани $SAF$, если сторона основания пирамиды равна 2, а расстояние от вершины $S$ до секущей плоскости равно 1.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь сечения правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ плоскостью, проходящей через вершину $F$ основания $ABCDEF$ и параллельной медиане $CM$ боковой грани $SCD$ и апофеме $SN$ боковой грани $SAF$, если сторона основания пирамиды равна $4\sqrt{7}$, а расстояние от вершины $S$ до секущей плоскости равно $\sqrt{7}$.
Ответ:
Решение:
Сечение правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ образовано плоскостью, проходящей через вершину $C$ основания $ABCDEF$ и параллельной медиане $BM$ боковой грани $SAB$ и апофеме $SN$ боковой грани $SAF$, сторона основания пирамиды равна 2, а расстояние от вершины $S$ до секущей плоскости равно 1. Найдите косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.
Ответ:
Решение:
Сечение правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ образовано плоскостью, проходящей через центр основания $ABCDEF$ и параллельной медиане $CM$ боковой грани $SCD$ и апофеме $SN$ боковой грани $SAF$, сторона основания пирамиды равна 8, а расстояние от вершины $S$ до секущей плоскости равно $3\sqrt{13/7}$. Найдите косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.
Ответ:
Решение:
Внутри правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ расположена правильная четырехугольная призма $KLMNK_1L_1M_1N_1$, основание $KLMN$ которой лежит в плоскости $ABC$. Центр основания $KLMN$ призмы расположен на отрезке $AC$, $KL\parallel AC$, $KN\parallel BD$ (точки $K$ и $B$ лежат по одну сторону от $AC$), сторона основания призмы равна 2, боковое ребро $KK_1$ призмы равно 3. Вершины $L_1$ и $M_1$ верхнего основания призмы $KLMNK_1L_1M_1N_1$ принадлежат боковым граням $SBC$ и $SCD$ пирамиды $SABCD$ соответственно. Плоскость $\gamma$ проходит через прямую $BD$ и точку $L_1$. Найдите объемы частей, на которые делит пирамиду $SABCD$ плоскость $\gamma$, если сторона пирамиды равна $8\sqrt{2}$, а её высота равна 12.
Ответ:
Решение:
Внутри правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ расположена правильная четырехугольная призма $KLMNK_1L_1M_1N_1$, основание $KLMN$ которой лежит в плоскости $ABC$. Центр основания $KLMN$ призмы расположен на отрезке $AC$, $KL\parallel AC$, $KN\parallel BD$ (точки $K$ и $B$ лежат по одну сторону от $AC$), сторона основания призмы равна 2, боковое ребро $KK_1$ призмы равно 3. Вершины $L_1$ и $M_1$ верхнего основания призмы $KLMNK_1L_1M_1N_1$ принадлежат боковым граням $SBC$ и $SCD$ пирамиды $SABCD$ соответственно. Плоскость $\gamma$ проходит через прямую $BD$ и точку $L_1$. Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\gamma$, если сторона пирамиды равна $8\sqrt2$, а её высота равна 12.
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды $SABC$ служит прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB=2$ и $BC=6$. Высотой пирамиды $SABC$ является отрезок $SD$, где точка $D$ симметрична точке $B$ относительно середины отрезка $AC$. Точка $M$ принадлежит боковому ребру $SB$, причем $SM=2MB$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через $D$ параллельно гипотенузе основания $AC$ и отрезку $AM$, если расстояние от точки $B$ до секущей плоскости равно $\sqrt{14}$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь сечения правильной треугольной пирамиды $TABC$ плоскостью, проходящей через центр сферы описанной около пирамиды, и через середину бокового ребра $TA$ и параллельной медиане $AD$ боковой грани $ATC$, если стороны основания равны $4$, а центр сферы делит высоту пирамиды в отношении $3:1$, считая от вершины.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь сечения правильной треугольной пирамиды $TABC$ плоскостью, проходящей через центр сферы описанной около пирамиды, и через середины бокового ребра $TA$ и стороны основания $BC$ и параллельной апофеме $TF$ боковой грани $ATB$, если радиус сферы равен $3$.
Ответ:
Решение:
Найдите объемы частей, на которые делит правильную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$ плоскость, параллельная диагонали $AC_1$ боковой грани $AA_1C_1C$, проходящая через вершину $C$ и центр симметрии боковой грани $AA_1B_1B$, если площадь сечения призмы этой плоскостью равна $21$, а сторона основания призмы равна $2\sqrt{14}$.
Ответ:
Решение:
Найдите объемы частей, на которые делит правильную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$ плоскость, параллельная диагонали $AC_1$ боковой грани $AA_1C_1C$, проходящая через середину стороны $AB$ основания $ABC$ и точку $M$, лежащую на стороне $B_1C_1$, если $MC_1=3B_1M$, расстояние от точки $C$ до секущей плоскости равно $\sqrt2$, а сторона основания призмы равна $4\sqrt7$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, которая параллельна диагонали $AC_1$ боковой грани $AA_1C_1C$, проходит через середину стороны $AB$ основания $ABC$ и точку $M$, лежащую на стороне $B_1C_1$, если $MC_1=3B_1M$, расстояние между $AC_1$ и секущей плоскостью равно $3$, а сторона основания призмы равна $2\sqrt{14}$.
Ответ:
Решение:
Боковые ребра треугольной пирамиды $TABC$ образуют между собой прямые углы. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину $C$ и середину стороны $AB$ основания, если боковые ребра $TA=6$, $TB=12$, $TC=2$? Какое из боковых ребер пересекает в этом случае плоскость и на какие части его делит?
Ответ:
Решение:
В сферу радиуса $R$ вписана правильная треугольная пирамида, у которой высота относится к стороне основания, как $\sqrt2:\sqrt3$. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через медиану боковой грани? Найдите отношение объёмов частей, на которые секущая плоскость разбивает пирамиду в этом случае.
Ответ:
Решение:
Многогранник (выпуклый) с вершинами в серединах рёбер некоторого куба называется кубооктаэдром. В сечении кубооктаэдра плоскостью получился правильный многоугольник. Какое наибольшее число сторон он может иметь?
Ответ:
Решение:
Существует ли тетраэдр, в сечениях которого двумя разными плоскостями получаются квадраты $1\times 1$ и $100\times 100$?
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с рёбрами $AB=3$, $AD=4$ и $AA_1=5$ проведены два сечения — плоскостью, проходящей через диагональ $A_1C$, и плоскостью, проходящей через диагональ $B_1D$. Найдите наибольшее возможное значение суммы площадей поверхностей многогранников, на которые эти сечения разбивают данный параллелепипед.
Ответ:
Решение:
Плоскость проходит через точку $K$, лежащую на ребре $SA$ пирамиды $SABC$, и делит биссектрису $SD$ грани $SAB$ и медиану $SE$ грани $SAC$ пополам. В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды, если $SK:KA=SA:SB=2$?
Ответ:
Решение: