В конус вписан цилиндр объёма $21$. Плоскость верхнего основания этого цилиндра отсекает от исходного конуса усечённый конус объёмом $91$. Найдите объём исходного конуса.
Ответ:
Решение:
Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?
Ответ:
Решение:
На боковых ребрах $TA$, $TB$, $TC$ правильной треугольной пирамиды $TABC$ соответственно выбраны точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ так, что $\frac{TA}{TA_1}=\frac{TB}{TB_1}=\frac{TC}{TC_1}=3$. Точка $O$ — центр сферы, описанной около пирамиды $TABC_1$. Докажите, что прямая $TO$ перпендикулярна плоскости $A_1B_1C$. Найдите радиус этой сферы и объем пирамиды $TA_1B_1C$, если сторона основания $AB=1$, боковое ребро $TA=5/4$.
Ответ:
Решение:
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды $SABC$ имеет длину $11/5$ и составляет с плоскостью основания $ABC$ угол, равный $\operatorname{arctg}\left(5\sqrt2/4\right)$. Цилиндр расположен так, что окружность одного из его оснований проходит через середину ребра $AC$ и не пересекает грань $SAB$. Ортогональные проекции цилиндра на плоскости $SAB$ и $SBC$ — прямоугольники с общей вершиной в точке $S$. Найти объем цилиндра.
Ответ:
Решение:
Сфера, касающаяся нижнего основания цилиндра, имеет единственную общую точку с окружностью его верхнего основания и делит ось цилиндра в отношении $1:6:2$, считая от центра одного из оснований. Найти объем цилиндра, если известно, что сфера касается двух его образующих, находящихся на расстоянии $8$ друг от друга.
Ответ:
Решение:
В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ боковое ребро равно $\sqrt{14}$, длина стороны основания $ABCD$ призмы равна $6$. Окружность основания прямого кругового конуса вписана в треугольник $BC_1D$, а вершина конуса лежит в плоскости $ABC_1$. Найти объем конуса.
Ответ:
Решение:
В основании призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит прямоугольник $ABCD$. Острые углы $D_1DA$ и $D_1DC$ равны между собой, угол между ребром $D_1D$ и плоскостью основания призмы равен $\arccos\frac{1}{\sqrt{13}}$, а $CD=5\sqrt6$. Все грани призмы касаются некоторой сферы. Найти длину $BC$, угол между плоскостями $D_1DC$ и $ABC$, а также расстояние от точки $D$ до центра сферы.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной пирамиде $ABCD$ сторона основания $ABC$ равна $a$. Внутри пирамиды расположен конус, окружность основания которого вписана в треугольник $ACD$, а вершиной конуса является точка $O$, лежащая на высоте $BE$ треугольника $ABC$ так, что $BE:OB=3$. Найти радиус основания конуса и радиус шара, касающегося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой $B$.
Ответ:
Решение:
Внутри цилиндра лежат два шара радиуса $r$ и один шар радиуса $2r$ так, что каждый шар касается двух других, верхнего основания цилиндра и его боковой поверхности. Найти радиус основания цилиндра.
Ответ:
Решение:
Расстояние от центра $O$ шара радиуса 12, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, до бокового ребра равно $4\sqrt{2}$. Найти:
1) высоту пирамиды;
2) расстояние от точки $O$ до боковой грани пирамиды;
3) радиус вписанного в пирамиду шара.
1) высоту пирамиды;
2) расстояние от точки $O$ до боковой грани пирамиды;
3) радиус вписанного в пирамиду шара.
Ответ:
Решение:
Даны пирамида $ABCD$ и цилиндр. Окружность нижнего основания цилиндра вписана в грань $ABC$. Окружность верхнего основания цилиндра пересекает ребра $DA$, $DB$ и $DC$, а ее центр лежит на грани $ABD$. Радиус цилиндра равен 3, объем пирамиды $ABCD$ равен $27\sqrt{2}$, ребро $AB=24$. Найти двугранный угол между гранями $ABC$ и $ABD$ и радиус описанной около $ABCD$ сферы.
Ответ:
Решение:
Прямой круговой конус с вершиной $O$ имеет высоту 4 и образующую длины 5. Пирамида $ABCD$ вписана в конус так, что $A$ и $C$ принадлежат окружности основания, $B$ и $D$ принадлежат боковой поверхности, причем $B$ принадлежит образующей $OA$. Треугольники $OAC$ и $OBD$ равносторонние, причем $OB=3$. Найти объём пирамиды $ABCD$, двугранный угол при ребре $AB$ и радиус сферы, описанной около $ABCD$.
Ответ:
Решение:
В пирамиде $SABC$ каждый из углов $ASB$ и $ASC$ равен $\arccos\dfrac{1}{\sqrt5}$, угол $BSC$ прямой, ребро $SB$ равно $a$. Центр сферы, вписанной в пирамиду $SABC$, лежит на высоте $SD$. Найти $SA$, $SD$ и радиус сферы, вписанной в пирамиду $SABC$.
Ответ:
Решение:
Внутри конуса с вершиной $A$ и высотой 8 расположены сфера $S_1$ с центром $O_1$ радиуса 1 и сфера $S_2$ с центром $O_2$ радиуса $\dfrac14$, причём $O_1O_2=\dfrac32$. Сфера $S_1$ касается плоскости основания конуса в его центре $O$. Обе сферы $S_1$ и $S_2$ касаются образующей конуса $AB$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно. Прямые $O_1O_2$ и $AB$ пересекаются в точке $L$. Плоскость $\Pi$ касается обеих сфер и пересекает отрезок $A_1A_2$ в его середине $M$. Найти длины отрезков $A_1A_2$ и $O_2L$, а также расстояния от точек $L$ и $A$ до плоскости $\Pi$.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$, причём $AB=1$, $BC=2$. Пусть $N$ — середина $SB$, $M$ — середина $SC$, причём $BN=MC=3MN$. Каким может быть минимальный радиус сферы, описанной около пирамиды $SABCD$? Найти объём пирамиды $SABCD$, вписанной в эту сферу (минимального радиуса).
Ответ:
Решение:
На рёбрах $AC$, $BC$, $BS$, $AS$ правильной треугольной пирамиды $SABC$ с вершиной $S$ выбраны точки $K$, $L$, $M$, $N$ соответственно. Известно, что точки $K$, $L$, $M$, $N$ лежат в одной плоскости, причём $KL=MN=2$, $KN=LM=18$. В четырёхугольнике $KLMN$ расположены две окружности $\Omega_1$ и $\Omega_2$, причём окружность $\Omega_1$ касается сторон $KN$, $KL$ и $LM$, а окружность $\Omega_2$ касается сторон $KN$, $LM$ и $MN$. Прямые круговые конусы $\mathcal F_1$ и $\mathcal F_2$ с основаниями $\Omega_1$ и $\Omega_2$ соответственно расположены внутри данной пирамиды, причём вершина $P$ конуса $\mathcal F_1$ лежит на ребре $AB$, а вершина $Q$ конуса $\mathcal F_2$ лежит на ребре $CS$.
а) Найдите $\angle SAB$.
б) Найдите длину отрезка $CQ$.
а) Найдите $\angle SAB$.
б) Найдите длину отрезка $CQ$.
Ответ:
Решение:
Дана пирамида $ABCD$, вершина $A$ которой лежит на одной сфере с серединами её рёбер, кроме ребра $AD$. Известно, что $AB=1$, $BD=2$, $CD=3$. Найдите длину ребра $BC$. Какой наименьший радиус может иметь сфера, описанная около данной пирамиды?
Ответ:
Решение:
На основании прямого кругового конуса расположены три попарно касающихся друг друга шара одинакового радиуса. Каждый из них касается также боковой поверхности конуса. Четвёртый шар того же радиуса касается первых трёх и боковой поверхности конуса. Найдите объём конуса, если радиус окружности, образованной точками касания четвёртым шаром боковой поверхности конуса, равен $\sqrt2$.
Ответ:
Решение:
Поверхность выпуклого многогранника $A_1B_1C_1A_2B_2C_2$ состоит из восьми треугольных граней $A_iB_jC_k$, где $i$, $j$, $k$ меняются от $1$ до $2$. Сфера с центром в точке $O$ касается всех этих граней. Докажите, что точка $O$ и середины трёх отрезков $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$ лежат в одной плоскости.
Ответ:
Решение:
Все грани шестигранника — четырёхугольники, а в каждой его вершине сходятся по три ребра. Верно ли, что если для него существуют вписанная и описанная сферы, центры которых совпадают, то этот шестигранник — куб?
Ответ:
Решение: