Уравнение с целыми коэффициентами $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ имеет четыре положительных корня с учётом кратности. Найдите наименьшее возможное значение коэффициента $b$ при этих условиях.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ x^3+(\log_2 5+\log_3 2+\log_5 3)\,x=(\log_2 3+\log_3 5+\log_5 2)\,x^2+1. \]
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ имеет три различных действительных корня, наибольший из которых равен сумме двух других. Докажите, что $c\gt ab$.
Ответ:
Решение:
Рассматриваются многочлены вида \[ P(x)=x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+128 \] с неотрицательными коэффициентами $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$, имеющие по семь действительных корней (не обязательно различных). Какое наименьшее значение может иметь $P(8)$?
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[x^3-ax^2-(a^3-6a^2+5a+8)x-(a-3)^3=0\] имеет три различных корня, образующих геометрическую прогрессию (укажите эти корни).
Ответ:
Решение:
Васе задали на дом уравнение $x^2+p_1x+q_1=0$, где $p_1$ и $q_1$ — целые числа. Он нашел его корни $p_2$ и $q_2$ и написал новое уравнение $x^2+p_2x+q_2=0$. Повторив операцию еще трижды, Вася заметил, что он решал четыре квадратных уравнения и каждое имело два различных целых корня (если из двух возможных уравнений два различных корня имело ровно одно, то Вася всегда выбирал его, а если оба — любое). Однако, как ни старался Вася, у него не получилось составить пятое уравнение так, чтобы оно имело два различных вещественных корня, и Вася сильно расстроился. Какое уравнение Васе задали на дом?
Ответ:
Решение:
Корни уравнения \[ x^3-\frac{32}{p}x^2+\frac{5}{\sqrt p}x-\frac{15}{64}=0 \] являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни уравнения \[ x^3-\frac13\left|\log_2p\right|x^2+\left(\log_{8\sqrt2p}p\right)x-\frac{1}{11+\sqrt p}=0 \] — длинами высот этого же треугольника. Найти $p$ и площадь треугольника.
Ответ:
Решение:
Параболы $y=x^2+ax+b$ и $y=x^2+cx+d$ пересекают ось $Ox$ в точке $(2019;0)$. Докажите, что если точки их вторичного пересечения с осью $Ox$ расположены симметрично относительно начала координат, то и точки их пересечения с осью $Oy$ расположены симметрично относительно начала координат.
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие три действительных числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он будет иметь два различных положительных корня, а если в другом порядке, то два различных отрицательных корня?
Ответ:
Решение:
Корни уравнения $x^2+px+q=0$ — целые числа, отличные от нуля. Докажите, что число $p^2+(q-1)^2$ составное.
Ответ:
Решение:
Пусть $\alpha$ и $\beta$ — действительные корни уравнения $x^2-x-2021=0$, причём $\alpha\gt \beta$. Обозначим \[A=\alpha^2-2\beta^2+2\alpha\beta+3\beta+7.\] Найдите наибольшее целое число, не превосходящее $A$.
Ответ:
Решение:
Действительные ненулевые числа $a$ и $b$ таковы, что квадратный трёхчлен \[P(x)=ax^2-20ax+b\] имеет два действительных корня, отличающихся на 2.
1. Найдите меньший из этих корней.
2. Найдите $\dfrac{b}{a}$.
1. Найдите меньший из этих корней.
2. Найдите $\dfrac{b}{a}$.
Ответ:
Решение:
Даны квадратные трёхчлены $x^2+ax+b$, $x^2+cx+d$ и $x^2+ex+f$. Оказалось, что любые два из них имеют общий корень, но все три общего корня не имеют. Докажите, что выполнены ровно два неравенства из следующих трёх: \[ \begin{gathered} \dfrac{a^2+c^2-e^2}{4}\gt b+d-f,\\ \dfrac{c^2+e^2-a^2}{4}\gt d+f-b,\\ \dfrac{e^2+a^2-c^2}{4}\gt f+b-d. \end{gathered} \]
Ответ:
Решение:
График квадратного трёхчлена $y=\frac{2}{\sqrt{3}}x^2+bx+c$ пересекает оси координат в трёх точках $K$, $L$ и $M$, как на рисунке ниже. Оказалось, что $KL=KM$ и $\angle LKM=120^\circ$. Найдите корни данного трёхчлена.
Ответ:
Решение:
Приведённые квадратные трёхчлены $P(x)$ и $Q(x)$ таковы, что каждое из чисел \[0,\ 4,\ 6,\ 8,\ 9,\ 12\] является корнем одного из трёхчленов $P(x)$, $Q(x)$, $P(x)+Q(x)$. Чему равно $P(0)+Q(0)$?
Напомним, что квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ называется приведённым, если $a=1$.
Напомним, что квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ называется приведённым, если $a=1$.
Ответ:
Решение:
Квадратный трехчлен $f(x)=ax^2+bx+c$ имеет два различных вещественных корня $x_1$ и $x_2$. Известно, что $f(x_1+x_2)=2025$. Чему может равняться $c$?
Ответ:
Решение:
Два приведённых квадратных трёхчлена $f(x)$ и $g(x)$ таковы, что каждый из них имеет по два корня, и выполняются равенства $f(1)=g(2)$ и $g(1)=f(2)$. Найдите сумму всех четырёх корней этих трёхчленов.
Ответ:
Решение:
График функции $f(x)=\frac{1}{12}x^2+ax+b$ пересекает ось $Ox$ в точках $A$ и $C$, а ось $Oy$ — в точке $B$, как изображено на рисунке. Оказалось, что для точки $T$ с координатами $(3;3)$ выполнено условие $TA=TB=TC$. Найдите $b$.
Ответ:
Решение:
Даны различные вещественные числа $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $b$. Оказалось, что уравнение \[ (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)=b \] имеет три различных вещественных корня $c_1$, $c_2$, $c_3$. Найдите корни уравнения \[ (x+c_1)(x+c_2)(x+c_3)=b. \]
Ответ:
Решение:
Числа $a$ и $b$ таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов $x^2+ax+b$ и $x^2+bx+a$ имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.
Ответ:
Решение: