В треугольнике $ABC$ медиана $BM=2$, угол $ABM$ равен $\operatorname{arctg}\dfrac23$, угол $CBM$ равен $\operatorname{arctg}\dfrac15$. Найти стороны $AB$, $BC$ и биссектрису $BE$ треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$; $MD$ и $ME$ — биссектрисы треугольников $AMB$ и $CMB$ соответственно. Отрезки $BM$ и $DE$ пересекаются в точке $P$, причём $BP=2$, $MP=4$.
а) Найдите отрезок $DE$.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника $ADEC$ можно описать окружность. Найдите её радиус.
а) Найдите отрезок $DE$.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника $ADEC$ можно описать окружность. Найдите её радиус.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Пусть $P$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABD$, а $Q$ — центр окружности, вписанной в треугольник $CBD$. Луч $BP$ пересекает сторону $DA$ в точке $M$, а луч $DQ$ пересекает сторону $BC$ в точке $N$. Оказалось, что $AM=\frac{9}{7}$, $DM=\frac{12}{7}$ и $BN=\frac{20}{9}$, $CN=\frac{25}{9}$.
а) Найдите отношение $AB:CD$.
б) Пусть дополнительно известно, что данные в условии окружности касаются. Найдите длины сторон $AB$ и $CD$.
а) Найдите отношение $AB:CD$.
б) Пусть дополнительно известно, что данные в условии окружности касаются. Найдите длины сторон $AB$ и $CD$.
Ответ:
Решение:
Остроугольный треугольник $ABC$ площади $80$ вписан в окружность с центром $O$, а $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ — его высоты. Найдите площадь треугольника $BOA_1$, если площади треугольников $COB_1$ и $AOC_1$ равны $12$ и $20$ соответственно.
Ответ:
Решение:
На гипотенузе $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $AB=BP$, $AC=CQ$. Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $D$, для которой $DP=DQ$, а $\angle PDQ=90^\circ$. Найдите $\angle DBC$, если известно, что $\angle DCB=20^\circ$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно так, что $\angle MNB=\angle ANC=80^\circ$. Найдите $\angle CAN$, если известно, что $BN\cdot MA=2BM\cdot NC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AP$ и $CQ$. Пусть $M$ и $T$ — соответственно середины сторон $AC$ и $AB$. Известно, что $\angle PBQ=\angle PMQ$. Найдите $QT$, если $AB=3$, $BC=5$.
Ответ:
Решение:
Треугольник $ABC$ вписан в окружность радиуса $R$, а $P$ — точка пересечения его биссектрис. Известно, что площадь треугольника $APC$ и площадь четырёхугольника $PFBE$ равны (см. рисунок). Найдите наибольшее значение произведения $AB\cdot BC$, если $\angle ABC=\beta$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ и $CE$, которые пересекаются в точке $H$. Вокруг треугольника $DHE$ описана окружность $\omega$. Касательные к $\omega$ в точках $D$ и $E$ пересекаются в точке $K$. Найдите длину отрезка $AK$, если радиус $\omega$ равен $10$ и $\angle ABC=60^\circ$.
Ответ:
Решение:
$CH$ — высота остроугольного треугольника $ABC$, вписанного в окружность с центром $O$, а $AC\gt BC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если площадь треугольника $AOC$ равна $10$, а площадь треугольника $AOH$ равна $12$.
Ответ:
Решение:
$AM$ и $BN$ — биссектрисы треугольника $ABC$. На прямой $MN$ расположена точка $P$, удаленная от прямых $AB$ и $BC$ на расстояния $4$ и $1$ соответственно. Найти расстояние от точки $P$ до прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
Угол при вершине $B$ треугольника $ABC$ равен $75^\circ$. На высоте $BH$ выбрана точка $D$ так, что угол $ADC$ равен $105^\circ$. Отношение $AD:BC=1:\sqrt{3}$. Найдите угол при вершине $C$ треугольника.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BP$. Докажите, что если угол $BAC$ равен $100^\circ$, то $AP+PB=BC$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ точки $P$ и $Q$ — середины биссектрис, проведённых из вершин $A$ и $B$. Вписанная в треугольник окружность касается гипотенузы в точке $H$. Найдите угол $PHQ$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ со стороной $AC=1$ провели высоту $BH$, в треугольнике $BHC$ — биссектрису $CL$, в треугольнике $BLC$ — медиану $BM$. Прямая $AL$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, причём $\angle BHK=\angle MHC=15^\circ$. Найдите площадь четырёхугольника $KLHM$.
Ответ:
Решение:
Прямая, проходящая через точки, симметричные основанию высоты $AD$ остроугольного треугольника $ABC$ относительно сторон $AC$ и $AB$, пересекает эти стороны в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите расстояние от точки $B$ до точки пересечения отрезков $BE$ и $CF$, если $AC=b$ и $\angle ABC=\beta$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$, $\angle A=2\alpha$, биссектрисы $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $I$. Найдите наименьший возможный радиус окружности, описанной около треугольника $DEI$, если сумма длин отрезков $DI$ и $EI$ равна $2d$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $LOM$ обозначили точку пересечения высот через $H$, центр описанной окружности через $Q$. Площади треугольников $LQH$ и $OQH$ равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника $MQH$.
Ответ:
Решение:
Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — точки пересечения продолжений высот остроугольного треугольника $ABC$ с описанной вокруг $ABC$ окружностью. Окружность, вписанная в треугольник $A_1B_1C_1$, касается одной из сторон $ABC$, а один из углов треугольника $ABC$ равен $40^\circ$. Найдите два других угла треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Стороны $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ касаются соответствующих вневписанных окружностей в точках $A_1$, $B_1$. Пусть $A_2$, $B_2$ — ортоцентры треугольников $CAA_1$ и $CBB_1$. Докажите, что прямая $A_2B_2$ перпендикулярна биссектрисе угла $C$.
Ответ:
Решение: