Найти все значения $a$, при которых система уравнений \[\begin{cases}|x|+2|y|+|2y-3x|=12,\\ x^2+y^2=a\end{cases}\] имеет ровно два действительных решения.
Ответ:
Решение:
Для каждого значения параметра $a\in[0,\pi]$ найти максимальное значение $g(a)$ функции \[f(x,y)=x(x+2)+y(y-4)\] на множестве точек $(x,y)$ таких, что $x^2+y^2\leqslant2(x\cos a+y\sin a)$. Найти значения параметра $a\in[0,\pi]$, при которых $g(a)$ принимает наименьшее значение.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых наибольшее значение величины $x^2+y$ на множестве пар действительных чисел $(x;y)$, удовлетворяющих одновременно двум неравенствам $y\leqslant\sqrt{1-x^2}$ и $y+|x-a|\leqslant1$, будет максимально возможным. Найти это максимально возможное значение.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых среди решений уравнения \[\left(a^4+2014a^3+2014a^2+2014a+2013\right)x=a^3+3a^2-6a-8\] есть неотрицательные числа.
Ответ:
Решение:
При каких $a$ решение $(x,y,z)$ системы \[ \begin{cases} x+2y=a,\\ 2y+3z=a+1,\\ x+3z=5 \end{cases} \] удовлетворяет уравнению $(x-1)^2+(y+2)^2+(z+2)^2=19$? Найти эти решения.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ система \[ \begin{cases} 2x+ay=a+3,\\ (a+2)x+2ay=6a-2 \end{cases} \] имеет бесконечно много решений?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары действительных параметров $a$ и $b$, при каждой из которых система уравнений \[ \begin{cases} 3(a+b)x+12y=a,\\ 4bx+(a+b)by=1 \end{cases} \] имеет бесконечно много решений.
Ответ:
Решение:
Найдите все тройки целочисленных параметров $a$, $b$ и $c$, при каждой из которых система уравнений \[ \begin{cases} ax+2y+cz=c,\\ 3x+by+4z=4b \end{cases} \] не имеет решений.
Ответ:
Решение:
Функция \[ \chi(t)=\begin{cases} 1, & \text{при } t\gt 0,\\ 0, & \text{при } t\leqslant 0. \end{cases} \] При каких значениях $a$ система \[ \begin{cases} x\cdot\chi(x-a)+y\cdot\chi(y-2a)=5a,\\ x+2y=2 \end{cases} \] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $b$, при которых для любого значения параметра $a$ существует тройка действительных чисел $(x,y,z)$, удовлетворяющая системе уравнений \[\begin{cases} ax+y=z+b,\\ 4x+ay=z^2.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости даны точки $A(2;-3)$ и $B(4;0)$. При каких значениях параметра $p$, $p\gt -5$, ближайшая к графику функции $y=\sqrt{x^3}+p$ точка прямой $AB$ лежит на отрезке $AB$?
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[\left|x^5\right|-x+a=0\] имеет единственное решение? Решить это уравнение для всех найденных значений $a$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ \ln(x-2a)-3(x-2a)^2+2a=0 \] имеет единственный корень?
Ответ:
Решение:
При каком значении параметра $a$ наибольшее значение на $[0;1]$ функции \[ y=\left|-2x^2+x+a\right| \] является наименьшим.
Ответ:
Решение:
При каком значении параметра $a$ наибольшее значение на $[0;1]$ функции \[ y=\left|-5x^2+4x+a\right| \] является наименьшим.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых для множества точек плоскости $Oxy$, задаваемых уравнением \[ x^2+y^2=a^2, \] наибольшее значение выражения $x^2-6x+a$ равно $8$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение параметра $a$, при котором уравнения \[ 5x^2-11x+2=0 \quad\text{и}\quad 2x^2-(a+2)x+a=0 \] имеют общий корень.
Ответ:
Решение:
Найдите количество целых значений параметра $p$, при которых график функции \[ y=x^2+px+p^2+2p-3 \] пересекает ось $X$ в точках с абсциссами разных знаков.
Ответ:
Решение:
При каком значении параметра $a$ значение выражения $x_1^2+x_2^2$ будет наименьшим, если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2+ax+a-2=0$?
Ответ:
Решение:
При каком значении параметра $a$ значение выражения $x_1^2+x_2^2$ будет наименьшим, если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2-2ax+2a-5=0$?
Ответ:
Решение: