Четыре числа $(x,\ y,\ z,\ t)$ удовлетворяют трем условиям: \[ x^2+y^2=1,\quad z^2+t^2=4,\quad xz+yt=-2. \] Найти $t$, если известно, что $y+z$ принимает наибольшее возможное значение.
Ответ:
Решение:
Найти все числа $C$, для которых неравенство \[ |\alpha\sin x+\beta\cos2x|\leqslant C \] выполняется при всех $x$ и любых $(\alpha;\beta)$ таких, что $\alpha^2+\beta^2\leqslant4$.
Ответ:
Решение:
При каком натуральном $n$ дробь \[ a_n=\dfrac{1}{n+\dfrac{2019}{n+\frac1n}} \] принимает наибольшее возможное значение?
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение выражения $\sin x+\sin y+\sin z$, если $x$, $y$ и $z$ — неотрицательные числа, для которых $x+y+z=\dfrac{3\pi}{4}$.
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение выражения $|x|+|y|+|z|$ для троек $(x;y;z)$, удовлетворяющих системе \[ \begin{cases} \sin x\cdot\sin(x+y)\cdot\sin(x+y+z)=0,\\ x^2+y^2+z^2=\dfrac{\pi^2}{3}. \end{cases} \] Найти тройки $(x;y;z)$, для которых наибольшее значение достигается.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $a,b,c$ — длины сторон, а $\alpha,\beta,\gamma$ — соответственно противолежащие им углы. Какое наибольшее значение может принимать выражение \[ a\left(b^2+c^2\right)\cos(\alpha)+b\left(c^2+a^2\right)\cos(\beta)+c\left(a^2+b^2\right)\cos(\gamma), \] если известно, что $abc=2$?
Ответ:
Решение:
Известно, что при некоторых $x$ и $y$ ровно два из четырёх чисел \[x-2y-2{,}5;\quad 2x-y-3;\quad x^2-2x+y^2+y+3;\quad x^2-x+y^2+2y+2{,}5\] равны между собой. Найдите наибольшее возможное значение выражения $x+y$.
Ответ:
Решение:
Известно, что для всех пар положительных чисел $(x;y)$, для которых выполняются равенство $x+y=7$ и неравенство $x^2+y^2\gt 28$, выполняется и неравенство $x^4+y^4\gt m$. Какое наибольшее значение может принимать $m$?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение параметра $p$, для которого при всех $0\leqslant x\leqslant 1$, $0\leqslant y\leqslant 2$, $0\leqslant z\leqslant 4$ выполняется неравенство $xyz+p\geqslant 11x+4y+2z$.
Ответ:
Решение:
Известно, что для положительных чисел $a$, $b$, $c$ каждое из трёх уравнений \[ ax^2+20bx+c=0,\quad bx^2+20cx+a=0,\quad cx^2+10ax+b=0 \] имеет хотя бы один действительный корень. Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно 11? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня.)
Ответ:
Решение:
Найти наименьшее значение выражения \[ 2x^2-14x+42+2\sqrt{x^2-10x+34}\cdot\sqrt{x^2-4x+8}. \] В ответ запишите квадрат этого значения.
Ответ:
Решение:
Число $p$ таково, что неравенство $\dfrac{4a}{3b+4c}+\dfrac{6b}{4c+2a}+\dfrac{8c}{2a+3b}\geqslant p$ выполняется для всех положительных чисел $a$, $b$, $c$. Найдите наибольшее значение $p$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Будем называть колебанием функции разницу между её наибольшим и наименьшим значением. Каким может быть максимальное колебание функции $f(x)g(x)$, если известно, что отрезок $[-8;4]$ является множеством значений функции $f(x)$, а отрезок $[-2;6]$ является множеством значений функции $g(x)$?
Ответ:
Решение:
Отрезок $[-3;9]$ является множеством значений функции $f(x)$, отрезок $[-1;6]$ является множеством значений функции $g(x)$. На какую наибольшую величину может отличаться наибольшее значение функции $f(x)g(x)$ от наименьшего значения этой функции?
Ответ:
Решение:
Какие наибольшее и наименьшее значения может принимать произведение двух чисел при условии, что их сумма принадлежит отрезку $[4;5]$, а разность — отрезку $[11;12]$?
Ответ:
Решение:
Точки $A$ и $B$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $C$ и $D$ на прямую $AB$. Длины отрезков $CA$, $DB$ и $AB$ равны $1$, $3$ и $3$ соответственно. На отрезке $AB$ взята точка $M$ так, что длина отрезка $AM$ равна $x$. Найти наименьшее возможное значение выражения \[ \sqrt{1+x^2}+\sqrt{9+(3-x)^2}. \]
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение выражения $x-2y$ для $(x;y)$, удовлетворяющих уравнению $4x^2+9y^2=25$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее положительное значение константы $C$ такое, что при любых $a$ и $b$ выполняется неравенство \[ C+a^2+b^2\geqslant ab+a+b. \]
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$ таковы, что $|a|\leqslant 6$, $|b|\leqslant 6$. Какое наибольшее значение может принимать выражение $a^3b-3a^2b^2$?
Ответ:
Решение: