Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Обозначим через $I_A$, $I_B$, $I_C$ и $I_D$ центры окружностей $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$ и $\omega_D$, вписанных в треугольники $DAB$, $ABC$, $BCD$ и $CDA$ соответственно. Оказалось, что $\angle BI_AA+\angle I_CI_AI_D=180^\circ$. Докажите, что $\angle BI_BA+\angle I_CI_BI_D=180^\circ$.
Ответ:
Решение:
Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник, в котором $AC\lt BC$; пусть $M$ — середина отрезка $AB$. В окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$, проведен диаметр $CC'$. Прямая $CM$ пересекает прямые $AC'$ и $BC'$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Пусть перпендикуляр к прямой $AC'$, проведенный через точку $K$, перпендикуляр к прямой $BC'$, проведенный через точку $L$, и прямая $AB$ образуют треугольник $\Delta$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $\Delta$, касается окружности $\Omega$.
Ответ:
Решение:
Остроугольный треугольник $ABC$ ($AB\lt AC$) вписан в окружность $\Omega$. Пусть $M$ — точка пересечения его медиан, а $AH$ — высота этого треугольника. Луч $MH$ пересекает $\Omega$ в точке $A'$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $A'HB$, касается $AB$.
Ответ:
Решение:
Параллелограмм $ABCD$ таков, что $\angle B\lt 90^\circ$ и $AB\lt BC$. Точки $E$ и $F$ выбраны на окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, так, что касательные к $\omega$ в этих точках проходят через $D$. Оказалось, что $\angle EDA=\angle FDC$. Найдите угол $ABC$.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$, в котором $AB\lt AC\lt BC$. Точки $E$ и $F$ выбраны на окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, так, что касательные к $\omega$ в этих точках проходят через $D$; при этом отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются. Оказалось, что $\angle ABF=\angle DCE$. Найдите угол $ABC$.
Ответ:
Решение:
Две равные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ проходят через точку $A$. На окружности $\omega_1$ отмечена точка $B$ так, что прямая $AB$ касается окружности $\omega_2$. На окружности $\omega_2$ отмечена точка $C$ так, что прямая $AC$ касается окружности $\omega_1$. Прямая, проходящая через точку $A$, повторно пересекает окружность $\omega_1$ в точке $X$ и окружность $\omega_2$ в точке $Y$. Докажите, что один из отрезков $BX$, $CY$ и $XY$ равен сумме двух других.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$. Известно, что $\angle DAB=\angle ABC=90^\circ$, а биссектрисы углов $C$ и $D$ пересекаются в точке $E$, лежащей внутри трапеции. Докажите, что описанные окружности треугольников $ABE$ и $CDE$ касаются.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$. На продолжении отрезков $AC$ и $BC$ за точку $C$ отмечены точки $D$ и $K$ соответственно так, что $BC=CD$ и $CM=CK$. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $ABD$ и $MCK$, касаются.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E$ и $F$, причем $E$ лежит между $B$ и $F$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Прямые $AE$ и $DF$ касаются окружности, описанной около треугольника $AOD$. Докажите, что они касаются и окружности, описанной около треугольника $EOF$.
Ответ:
Решение:
Остроугольный равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=AC$) вписан в окружность с центром в точке $O$. Лучи $BO$ и $CO$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $B'$ и $C'$ соответственно. Через точку $C'$ проведена прямая $\ell$, параллельная прямой $AC$. Докажите, что прямая $\ell$ касается окружности, описанной около треугольника $B'OC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$. На отрезке $CL$ выбрана точка $M$. Касательная в точке $B$ к окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$, пересекает луч $CA$ в точке $P$. Касательные в точках $B$ и $M$ к окружности $\Gamma$, описанной около треугольника $BLM$, пересекаются в точке $Q$. Докажите, что прямые $PQ$ и $BL$ параллельны.
Ответ:
Решение:
Внутри равнобокой трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ расположена окружность $\omega$ с центром $I$, касающаяся отрезков $AB$, $CD$ и $DA$. Описанная окружность треугольника $BIC$ вторично пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Докажите, что прямая $CE$ касается окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
Пусть $AL$ — биссектриса треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к отрезку $AL$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точках $P$ и $Q$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $PLQ$, касается стороны $BC$.
Ответ:
Решение:
Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AC$ в точке $D$. Вторая окружность проходит через точку $D$, касается луча $BA$ в точке $A$ и, кроме того, касается продолжения стороны $BC$ за точку $C$. Найдите отношение $AD:DC$.
Ответ:
Решение:
В окружность $\omega$ вписана трапеция $ABCD$ такая, что $BC\parallel AD$, $AD=14$ и $BC=9$. Пусть $M$ — середина дуги $AD$ окружности $\omega$, не содержащей точек $B$ и $C$. Прямая $\ell$ касается $\omega$ в точке $C$. Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из $M$ на $\ell$. Найдите длину отрезка $CH$.
Ответ:
Решение:
Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Оказалось, что радиусы $OA$ и $OB$ первой окружности являются касательными ко второй окружности. Через точку $A$ проведена прямая, которая вторично пересекает окружности в точках $M$ и $N$. Докажите, что $MB\perp NB$.
Ответ:
Решение:
Три окружности радиусов $a$, $b$, $c$ касаются как на рисунке, а их центры $Q$, $R$, $S$ вместе с точкой $T$ являются вершинами прямоугольника, причём точка $T$ лежит на окружности с центром $S$. Найдите площадь прямоугольника $QRST$, если $b=5$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$. Из точки $A$ опустили перпендикуляры $AP$ и $AQ$ на продолжения отрезков $BO$ и $CO$ за точку $O$. Окружность с центром $T$, проходящая через точки $P$ и $Q$, касается отрезка $BC$. Докажите, что $TO\parallel BC$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Биссектрисы его углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $E$, а биссектрисы углов $B$ и $D$ — в точке $F$, причём точки $O$, $E$ и $F$ лежат внутри четырёхугольника. Описанные окружности треугольников $ACE$ и $BDF$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Докажите, что точки $O$, $P$ и $Q$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
Пусть $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ нашлась такая точка $D$, что $\angle ADM=\angle ACM=30^\circ$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ACD$. Найдите угол $OBC$.
Ответ:
Решение: