Две окружности $\Omega$ и $\omega$ радиусов $R=13{,}25$ и $r=9$ касаются внутренним образом. Хорда $AB$ окружности $\Omega$ касается окружности $\omega$ в точке $C$. Найдите длину хорды $AB$, если известно, что $AC:CB=1:2$.
Ответ:
Решение:
Точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ последовательно расположены на прямой, причём $AB=BC=DE=2$, $CD=1$. Окружности $\Omega$ и $\omega$, касающиеся друг друга, таковы, что $\Omega$ проходит через точки $D$ и $E$, а $\omega$ проходит через точки $B$ и $C$. Найдите радиусы окружностей $\Omega$ и $\omega$, если известно, что их центры и точка $A$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
Окружность, диаметром которой является боковая сторона $AB$ прямоугольной трапеции $ABCD$, касается боковой стороны $CD$ в точке $K$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $L$. Найдите длину отрезка $KL$, если длины оснований трапеции равны $3$ и $5$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Окружность $\omega$ радиуса $2$, центр $O$ которой лежит на диагонали $BD$, касается отрезков $BC$, $CD$ и $AD$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Известно, что $BM=3$, а четырёхугольник $KOBA$ вписан в окружность $\Omega$. Найдите угол $COD$, площадь трапеции $ABCD$ и радиус окружности $\Omega$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписана окружность. Через точку $D$, лежащую на стороне $AB$, проведена касательная к окружности, пересекающая прямую $AC$ за точкой $C$ в точке $E$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$, если $AC=21$, $CE=35$ и $BD=AB/8$.
Ответ:
Решение:
Дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, причём $BC\lt AD$, $\angle BCD=90^\circ$. Точка $M$ — середина отрезка $CD$. Известно, что окружность радиуса $5$ проходит через точки $A$ и $B$ и касается стороны $CD$ в точке $M$, а $\cos\angle BMC=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Найдите длины отрезков $AB$ и $BC$, а также площадь трапеции.
Ответ:
Решение:
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом. К ним проведены две общие внешние касательные $AC$ и $BD$. Их точки касания с меньшей окружностью — $A$ и $B$, с большей окружностью — $C$ и $D$. Найдите радиусы окружностей, если известно, что $AB=24/5$, $AC=12$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ окружность радиуса $\frac{13}{3}$ с центром на отрезке $BC$ проходит через точку $B$ и касается отрезка $AC$ в точке $D$ такой, что угол $ADB$ равен $\operatorname{arctg}\frac{3}{2}$. Найдите высоту $BF$ треугольника $ABC$ и длину отрезка $CD$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если длины отрезков $AB$ и $CD$ равны.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ с центром $O$ на стороне $AC$ треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Известно, что $AD=2CE$, а угол $DOE$ равен $\operatorname{arcctg}\frac{1}{3}$. Найти углы треугольника $ABC$ и отношение его площади к площади круга, ограниченного окружностью $\omega$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром на стороне $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) касается сторон $AB$ и $BC$. Найти радиус окружности, если площадь треугольника $ABC$ равна $25$, а отношение высоты $BD$ к стороне $AC$ равно $\frac38$.
Ответ:
Решение:
Окружности радиусов $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$ ($r_1\lt r_2\lt r_3\lt r_4$) вписаны в угол. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Найдите \[ \frac{L_1+L_3}{\pi}, \] где $L_1+L_3$ — сумма длин первой и третьей окружностей, если длина радиуса четвёртой окружности равна $r_4=64$, а площадь круга, ограниченного второй окружностью с радиусом $r_2$, равна $16\pi$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $AC$ как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу $AB$ в точке $E$. Через точку $E$ проведена касательная к окружности, которая пересекает катет $CB$ в точке $D$. Найдите длину $DB$, если $AE=6$, а $BE=2$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята такая точка $D$, что окружность, проходящая через точки $A$, $C$ и $D$, касается прямой $BC$. Найдите $AD$, если $AC=9$, $BC=12$ и $CD=6$.
Ответ:
Решение:
Математической моделью шарикового подшипника является кольцо, образованное двумя концентрическими окружностями $K_1$ и $K_2$ радиусов $r$ (внутреннее) и $R$ (внешнее), а также $n$ окружностей (шариков) радиуса $\rho$, расположенных внутри кольца, касающихся между собой и окружностей $K_1$ и $K_2$. Напишите формулу зависимости радиуса внешней окружности $R$ от $\rho$ и $n$.
Ответ:
Решение:
Даны две концентрические окружности $\Omega$ и $\omega$ с центром в точке $O$, причём радиус $\Omega$ больше радиуса $\omega$. На луче с началом в точке $O$, пересекающем окружность $\Omega$ в точке $A$, отмечена точка $B$ такая, что $OB\gt OA$. На окружности $\omega$ выбраны точки $K$ и $M$ таким образом, что прямые $AM$ и $BK$ касаются этой окружности. Прямая $BL$ касается окружности $\Omega$ в точке $L$. Найдите наибольшую возможную длину $BL$, если $AM=20$, $BK=29$.
Ответ:
Решение:
Точка $F$ лежит на катете $KP$ прямоугольного треугольника $KPM$, периметр которого равен 45. Окружность радиуса 5 с центром в точке $F$ касается гипотенузы $PM$ и катета $KM$. Найдите все возможные значения $KM$. Если их несколько, запишите в ответе их сумму.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный треугольник $ABC$. Окружность, касающаяся прямой $BC$ в точке $B$, пересекает высоту $CD$, проведённую к гипотенузе, в точке $F$, а катет $AC$ — в точке $E$. Известно, что $AB\parallel EF$, $AD:DB=3:1$. Найдите отношение площади треугольника $ABC$ к площади треугольника $CEF$.
Ответ:
Решение:
Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.
Ответ:
Решение:
В правильном семиугольнике провели самые длинные диагонали. Получившуюся семиугольную звёздочку вырезали и раскрасили, будто это ромашка (см. рис.). Потом белые лепестки согнули у основания по пунктирным линиям так, чтобы они накрывали центр. Найдите площадь множества всех точек, которые накрываются всеми лепестками одновременно. В ответе укажите отношение этой площади к площади изначального семиугольника.
Ответ:
Решение:
Последовательность выпуклых четырёхугольников \[P_1Q_1R_1S_1,\quad P_2Q_2R_2S_2,\quad\ldots,\quad P_{2012}Q_{2012}R_{2012}S_{2012}\] такова, что вершины четырёхугольника $P_{n+1}Q_{n+1}R_{n+1}S_{n+1}$ являются серединами сторон четырёхугольника $P_nQ_nR_nS_n$ ($n=1,2,\ldots,2011$).
а) Может ли отношение периметров четырёхугольников $P_{2012}Q_{2012}R_{2012}S_{2012}$ и $P_1Q_1R_1S_1$ равняться $32\cdot10^{-303}$?
б) Найдите все возможные значения этого отношения.
а) Может ли отношение периметров четырёхугольников $P_{2012}Q_{2012}R_{2012}S_{2012}$ и $P_1Q_1R_1S_1$ равняться $32\cdot10^{-303}$?
б) Найдите все возможные значения этого отношения.
Ответ:
Решение: