В окружность $\omega$ вписан пятиугольник $ABCDE$. Прямая $CD$ пересекает лучи $AB$ и $AE$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Отрезки $EX$ и $BY$ пересекаются в точке $P$ и вторично пересекают окружность $\omega$ в точках $Q$ и $R$. Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно прямой $CD$. Окружность $\gamma$, описанная около треугольника $PQR$, пересекает окружность, описанную около треугольника $A'XY$, в двух точках. Докажите, что их можно назвать $M$ и $N$ так, чтобы прямые $CM$ и $DN$ пересекались на окружности $\gamma$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $BD=CE$. На дуге $DE$ описанной окружности треугольника $ADE$, не содержащей точку $A$, нашлись такие точки $P$ и $Q$, что $AB=PC$ и $AC=BQ$. Докажите, что $AP=AQ$.
Ответ:
Решение:
На плоскости фиксирован остроугольный треугольник $ABC$ с наибольшей стороной $BC$. Пусть $PQ$ — произвольный диаметр его описанной окружности, причём точка $P$ лежит на меньшей дуге $AB$, а точка $Q$ — на меньшей дуге $AC$. Точки $X$, $Y$ и $Z$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на прямую $AB$, из точки $Q$ на прямую $AC$ и из точки $A$ на прямую $PQ$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $XYZ$ лежит на фиксированной окружности (не зависящей от выбора точек $P$ и $Q$).
Ответ:
Решение:
Пусть $CE$ — биссектриса в остроугольном треугольнике $ABC$. На внешней биссектрисе угла $ACB$ отмечена точка $D$, а на стороне $BC$ — точка $F$, причём $\angle BAD=90^\circ=\angle DEF$. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника $CEF$, лежит на прямой $BD$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BD$ и отмечена точка пересечения высот $H$. Серединный перпендикуляр к отрезку $HD$ пересекает окружность, описанную около треугольника $BCD$, в точках $P$ и $Q$. Докажите, что $\angle APB+\angle AQB=180^\circ$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ описана около треугольника $ABC$, в котором $AB\lt AC$. Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Из середины $M$ стороны $BC$ на прямую $AI$ опущен перпендикуляр $MH$. Прямые $MH$, $BI$ и $AB$ ограничивают треугольник $T_b$, а прямые $MH$, $CI$ и $AC$ ограничивают треугольник $T_c$. Описанные окружности треугольников $T_b$ и $T_c$ повторно пересекают окружность $\omega$ в точках $B'$ и $C'$ соответственно. Докажите, что точка $H$ лежит на прямой $B'C'$.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $\angle A+\angle D=90^\circ$, его диагонали пересекаются в точке $E$. Прямая $\ell$ пересекает отрезки $AB$, $CD$, $AE$ и $ED$ в точках $X$, $Y$, $Z$ и $T$ соответственно. Известно, что $AZ=CE$ и $BE=DT$. Докажите, что длина отрезка $XY$ не больше диаметра описанной окружности треугольника $ETZ$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$, в котором нет параллельных сторон, вписан в окружность $\omega$. Через вершину $A$ проведена прямая $\ell_a\parallel BC$, через вершину $B$ — прямая $\ell_b\parallel CD$, через вершину $C$ — прямая $\ell_c\parallel DA$, через вершину $D$ — прямая $\ell_d\parallel AB$. Четырёхугольник, последовательные стороны которого лежат на этих четырёх прямых (именно в этом порядке), вписан в окружность $\gamma$. Окружности $\omega$ и $\gamma$ пересекаются в точках $E$ и $F$. Докажите, что прямые $AC$, $BD$ и $EF$ пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
Дан равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$). На продолжениях боковых сторон $AB$ и $BC$ за точку $B$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно, а на основании $AC$ отмечена точка $F$, причем $AC=DE$ и $\angle CFE=\angle DEF$. Докажите, что $\angle ABC=2\angle DFE$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$, в котором нет параллельных сторон, вписан в окружность $\Omega$. В треугольники $DAB$, $ABC$, $BCD$, $CDA$ вписаны окружности $\omega_a$, $\omega_b$, $\omega_c$, $\omega_d$ соответственно. Проведены общие внешние касательные к окружностям $\omega_a$ и $\omega_b$, $\omega_b$ и $\omega_c$, $\omega_c$ и $\omega_d$, $\omega_d$ и $\omega_a$, не содержащие сторон четырёхугольника $ABCD$. Четырёхугольник, последовательные стороны которого лежат на четырёх проведённых прямых (именно в таком порядке), вписан в окружность $\Gamma$. Докажите, что прямые, соединяющие центры окружностей $\omega_a$ и $\omega_c$, $\omega_b$ и $\omega_d$, $\Omega$ и $\Gamma$, пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с углом $100^\circ$ при вершине $A$ медианы $BK$ и $CN$ пересекаются в точке $M$. Прямая, проходящая через точку $M$ и параллельная $BC$, пересекает описанную окружность треугольника $AKN$ в точках $P$ и $Q$. Найдите сумму углов $BPC$ и $BQC$.
Ответ:
Решение:
Пусть $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ нашлась такая точка $D$, что $\angle ADM=\angle ACM=30^\circ$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ACD$. Найдите угол $OBC$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Биссектрисы его углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $E$, а биссектрисы углов $B$ и $D$ — в точке $F$, причём точки $O$, $E$ и $F$ лежат внутри четырёхугольника. Описанные окружности треугольников $ACE$ и $BDF$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Докажите, что точки $O$, $P$ и $Q$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$. Из точки $A$ опустили перпендикуляры $AP$ и $AQ$ на продолжения отрезков $BO$ и $CO$ за точку $O$. Окружность с центром $T$, проходящая через точки $P$ и $Q$, касается отрезка $BC$. Докажите, что $TO\parallel BC$.
Ответ:
Решение:
Три окружности радиусов $a$, $b$, $c$ касаются как на рисунке, а их центры $Q$, $R$, $S$ вместе с точкой $T$ являются вершинами прямоугольника, причём точка $T$ лежит на окружности с центром $S$. Найдите площадь прямоугольника $QRST$, если $b=5$.
Ответ:
Решение:
Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Оказалось, что радиусы $OA$ и $OB$ первой окружности являются касательными ко второй окружности. Через точку $A$ проведена прямая, которая вторично пересекает окружности в точках $M$ и $N$. Докажите, что $MB\perp NB$.
Ответ:
Решение:
В окружность $\omega$ вписана трапеция $ABCD$ такая, что $BC\parallel AD$, $AD=14$ и $BC=9$. Пусть $M$ — середина дуги $AD$ окружности $\omega$, не содержащей точек $B$ и $C$. Прямая $\ell$ касается $\omega$ в точке $C$. Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из $M$ на $\ell$. Найдите длину отрезка $CH$.
Ответ:
Решение:
Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AC$ в точке $D$. Вторая окружность проходит через точку $D$, касается луча $BA$ в точке $A$ и, кроме того, касается продолжения стороны $BC$ за точку $C$. Найдите отношение $AD:DC$.
Ответ:
Решение:
Пусть $AL$ — биссектриса треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к отрезку $AL$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точках $P$ и $Q$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $PLQ$, касается стороны $BC$.
Ответ:
Решение:
Внутри равнобокой трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ расположена окружность $\omega$ с центром $I$, касающаяся отрезков $AB$, $CD$ и $DA$. Описанная окружность треугольника $BIC$ вторично пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Докажите, что прямая $CE$ касается окружности $\omega$.
Ответ:
Решение: