Точка $M$ — середина ребра $SA$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$. Точка $N$ лежит на ребре $SB$, $SN:NB=1:2$.
а) Докажите, что плоскость $CMN$ параллельна прямой $SD$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $CMN$, если все рёбра пирамиды равны 6.
а) Докажите, что плоскость $CMN$ параллельна прямой $SD$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $CMN$, если все рёбра пирамиды равны 6.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равна $4$, боковое ребро равно $6$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $BD$ и $AS$.
Ответ:
Решение:
Дана правильная треугольная пирамида $ABCD$ с вершиной $D$.
а) Докажите, что её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $AD$ и $BC$, — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между противоположными рёбрами, если сторона основания равна $6\sqrt{3}$, а боковое ребро равно 10.
а) Докажите, что её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $AD$ и $BC$, — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между противоположными рёбрами, если сторона основания равна $6\sqrt{3}$, а боковое ребро равно 10.
Ответ:
Решение:
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$.
а) Постройте её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $SA$ и $BC$.
б) Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $SC$, если сторона основания равна 30, а боковое ребро равно $5\sqrt{34}$.
а) Постройте её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $SA$ и $BC$.
б) Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $SC$, если сторона основания равна 30, а боковое ребро равно $5\sqrt{34}$.
Ответ:
Решение:
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Все рёбра пирамиды равны $6$. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через середину ребра $SC$ и точку $A$ параллельно диагонали $BD$ основания.
Ответ:
Решение:
Основание правильной четырёхугольной пирамиды $MABCD$ — квадрат $ABCD$. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер $MA$ и $MB$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная ребру $MC$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна грани $CMD$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $MABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AM=12$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна грани $CMD$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $MABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AM=12$.
Ответ:
Решение:
Основание пирамиды $SABC$ — прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Высота пирамиды проходит через точку $A$. Точки $E$ и $F$ лежат на рёбрах $AC$ и $BS$ соответственно, причём $AE:EC=SF:FB=1:2$.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $\alpha$, проходящей через точки $E$ и $F$ перпендикулярно прямой $AC$, — прямоугольник.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые секущая плоскость делит пирамиду $SABC$.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $\alpha$, проходящей через точки $E$ и $F$ перпендикулярно прямой $AC$, — прямоугольник.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые секущая плоскость делит пирамиду $SABC$.
Ответ:
Решение:
На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $DABC$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $AM:MB=CN:NB=1:2$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
Ответ:
Решение:
На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $AM:MB=CN:NB=1:3$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
Ответ:
Решение:
На ребре $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $M$, причём $SM:MD=1:4$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $BC$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
Ответ:
Решение:
На ребре $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $M$, причём $SM:MD=3:2$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $BC$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
Ответ:
Решение: