Найти все значения $a$, при которых уравнение \[\log_{4x}(1+ax)=\dfrac{1}{2}\] имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
Найдите такое значение $a\gt 1$, при котором уравнение $a^x=\log_a x$ имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение\[\log_2^2x+(a-6)\log_2x+9-3a=0\]имеет ровно два корня, один из которых в четыре раза больше, чем другой?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых неравенство \[ a\log_3 x+\log_{\frac12}x\gt 1 \] имеет решения, причём среди решений нет бо́льших 1.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при которых уравнение \[ \log_2^2\left(\dfrac{2x}{1+x^2}\right)+2(a-1)\log_2\left(\dfrac{x}{1+x^2}\right)+a^2-a-2=0 \] имеет решение.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ неравенство \[3\cdot 4^x-6a\cdot 2^x+3a^2+2a-14\lt 0\] не имеет решений?
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ \frac{a^{2x}-3a^{x+1}+2a^2}{\log_2a}\geqslant0 \] (относительно неизвестной $x$) представляет собой отрезок длиной 2026?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система \[ \begin{cases} 25^x-13\cdot5^x+a\lt 0,\\ 12\sin^4\pi x-\cos4\pi x=11 \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем значении параметра $a$ каждое решение неравенства \[ \log_{x+1}(3-ax)\gt 0 \] удовлетворяет неравенству $x^2+\dfrac{2a-5}{2a}x-\dfrac{5}{2a}\gt 0$?
Ответ:
Решение:
При каждом значении $a$ найдите все значения $x$, удовлетворяющие уравнению \[ \log_5\left(\frac{(x+1)^2}{x}-a\right)=\log_5\frac{(x+1)^2}{x}-\log_5 a. \]
Ответ:
Решение:
Для каждого допустимого $a$ найти наименьшее решение уравнения \[ 2\log_a^2 x+\log_a x^3-3=\log_x a^2. \]
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} y=|a-3|x+1|+x+3|+3|x+1|,\\ 2^{2-y}\log_{\sqrt{3}}\left((x+|a+2x|)^2-6(x+1+|a+2x|)+16\right)+2^{x+|a+2x|}\log_{1/3}\left(y^2+1\right)=0,\\ x+|a+2x|\leqslant3 \end{cases} \] имеет единственное решение $(x;y)$, где $x$ и $y$ — целые числа. Укажите это решение при каждом из найденных $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство \[ 2\sqrt{x^2+324}-f(x)\geqslant\frac{x^2+324}{f(x)-a}-a \] имеет единственное решение, если $f(x)=\sqrt{g^2(x)-400}$, $g(x)=19+2\cos2x+4\cos x$.
Ответ:
Решение:
Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение \[ \log_2\dfrac{3\sqrt3+(\sin x+4)\cos a}{3\sin a\cos x}=|3\sin a\cos x|\,\left|(\sin x+4)\cos a+3\sqrt3\right|. \]
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \left((1-x^2)^2+2a^2+a\right)^5-\left((3a-1)(1-x^2)+6\right)^5=2a+5+(1-3a)x^2-2a^2-(1-x^2)^2 \] имеет два различных решения на отрезке $\left[-\sqrt6/2;\,\sqrt2\right]$. Укажите эти решения для каждого найденного $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все такие $a$ и $b$, что $|a|+|b|\geqslant\dfrac{2}{\sqrt3}$ и при всех $x$ выполнено неравенство \[|a\sin x+b\sin 2x|\leqslant 1.\]
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ 4^{|x-a|}\log_{\frac13}\left(x^2-2x+4\right)+2^{x^2-2x}\log_{\sqrt{3}}\bigl(2|x-a|+3\bigr)=0 \] имеет ровно три решения?
Ответ:
Решение:
Для каждого значения $a$ решите уравнение \[ \left|x-2^{\frac{1}{\sin^2(2a)}}\right|+\left|x-2^{-4\operatorname{tg}(3a)}\right|+a\left(a+\frac{\pi}{12}\right)^2\left(a-\frac{\pi}{12}\right)=0. \]
Ответ:
Решение:
Укажите все значения параметра $a$, при каждом из которых система \[ \begin{cases} x^2+2y^2+2y(x-a)+a^2=0, \\ 2^{-2-y}\cdot\log_2 x\lt 1 \end{cases} \] имеет решения, и найдите эти решения.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ 25^{-|x-a|}\log_{\sqrt[5]{7}}(x^2-2x+3)+5^{-x^2+2x}\log_{\frac17}(2|x-a|+2)=0 \] имеет ровно три различных решения.
Ответ:
Решение: