Квадрат $100\times100$ разбит на квадраты $2\times2$. Потом его разбивают на доминошки (прямоугольники $1\times2$ и $2\times1$). Какое наименьшее количество доминошек могло оказаться внутри квадратов разбиения?
Ответ:
Решение:
В каждой строке таблицы $100\times n$ в некотором порядке стоят числа от 1 до 100, числа в строке не повторяются (в таблице $n$ строк и 100 столбцов). Разрешается поменять местами в строке два числа, отличающиеся на 1, если они не стоят рядом. Оказалось, что с помощью таких операций нельзя получить двух одинаковых строк. При каком наибольшем $n$ это возможно?
Ответ:
Решение:
Изначально в строку выписывают 250 букв — 125 букв А и 125 букв Б в некотором порядке. Затем за одну операцию можно взять любой кусок из нескольких подряд стоящих букв, среди которых поровну букв А и Б, и переставить буквы в этом куске в обратном порядке, поменяв в этом куске все буквы А на буквы Б и буквы Б на буквы А. (Например, из строки А$\underbrace{\text{БАББАА}}$Б можно одной операцией получить строку А$\underbrace{\text{ББААБА}}$Б.) Можно ли выписать исходную строку и совершить несколько операций так, чтобы в результате на доске оказалась та же строка, буквы которой записаны в обратном порядке?
Ответ:
Решение:
Пару многочленов $F(x,y)$ и $G(x,y)$ с целыми коэффициентами назовём важной, если из делимости на 100 обеих разностей $F(a,b)-F(c,d)$ и $G(a,b)-G(c,d)$, где $a$, $b$, $c$, $d$ — целые, следует, что числа $a-c$ и $b-d$ делятся на 100. Существует ли такая важная пара многочленов $P(x,y)$, $Q(x,y)$, что пара многочленов $P(x,y)-xy$ и $Q(x,y)+xy$ также является важной?
Ответ:
Решение:
Петя выбрал 100 попарно различных положительных чисел, меньших 1, и расставил их по кругу. Затем он проделывает с ними операции. За одну операцию можно взять три стоящих подряд (именно в таком порядке) числа $a$, $b$, $c$ и заменить число $b$ на $a-b+c$. При каком наибольшем $k$ Петя мог выбрать исходные числа и сделать несколько операций так, чтобы после них среди чисел оказалось $k$ целых?
Ответ:
Решение:
Некоторые рёбра выпуклого многогранника удалось покрасить в красный цвет так, что в каждую вершину входит ровно два красных ребра, причём эти ребра лежат в одной грани. Кроме того, в каждой грани оказалось не более двух красных ребер. Сколько вершин может быть в таком многограннике?
Ответ:
Решение:
Дана окружность длины 90. Можно ли отметить на ней 10 точек так, чтобы среди дуг с концами в этих точках имелись дуги со всеми целочисленными длинами от 1 до 89?
Ответ:
Решение:
На доске написано 100 натуральных чисел, среди которых ровно 33 нечётных. Каждую минуту на доску дописывается сумма всех попарных произведений всех чисел, уже находящихся на ней (например, если на доске были записаны числа 1, 2, 3, 3, то следующим ходом было дописано число $1\cdot2+1\cdot3+1\cdot3+2\cdot3+2\cdot3+3\cdot3$). Можно ли утверждать, что рано или поздно на доске появится число, делящееся на $2^{10000000}$?
Ответ:
Решение:
Замкнутая ломаная состоит из 1001 звена и такова, что никакие три её вершины не лежат на одной прямой. Известно, что каждое её звено, кроме, может быть, двух, пересекает все 998 звеньев, не имеющих с ним общих концов. Верно ли, что каждое из двух оставшихся звеньев тоже пересекает все 998 звеньев, не имеющих с ним общих концов?
Ответ:
Решение:
Сначала Саша прямолинейными разрезами, каждый из которых соединяет две точки на сторонах квадрата, делит квадрат со стороной 2 на 2020 частей. Затем Дима вырезает из каждой части по кругу. Докажите, что Дима всегда может добиться того, чтобы сумма радиусов этих кругов была не меньше 1.
Ответ:
Решение:
В кружке 42 человека, любые двое из которых имеют среди кружковцев не менее десяти общих друзей. Докажите, что найдутся двое, имеющие среди кружковцев не менее двенадцати общих друзей.
Ответ:
Решение:
Для каких натуральных $n$ найдутся такие целые числа $a$, $b$, $c$, $d$, большие, чем $10^{2026}$, что \[ a^2+b^2=c^2+d^2\quad\text{и}\quad a+b-c-d=n? \]
Ответ:
Решение:
Как из 13 прямоугольников размерами $1\times1$, $2\times1$, $3\times1$, …, $13\times1$ составить прямоугольник, у которого все стороны больше 1?
Ответ:
Решение:
У Пети есть картонная фигура, показанная на рисунке. Как ему разрезать эту фигуру по линиям клеток на четыре равные фигуры (то есть такие фигуры, из которых любые две можно наложить друг на друга так, чтобы они совпали)?
Ответ:
Решение:
Проведите два отрезка с концами на сторонах треугольника так, чтобы треугольник оказался разбит на два треугольника, один четырёхугольник и один пятиугольник.
Ответ:
Решение:
Глеб утверждает, что может разрезать треугольник, изображённый справа, на 12 треугольников; а потом 9 из них покрасить в синий цвет, а 3 — в красный так, что в итоге все синие треугольники будут одинаковые и все красные треугольники будут одинаковые. Как он может это сделать?
Ответ:
Решение:
Разрежьте приведённую ниже фигуру на три части так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат $6\times6$.
Резать можно только по линиям сетки. Части могут получиться разными.
Резать можно только по линиям сетки. Части могут получиться разными.
Ответ:
Решение:
Можно ли так раскрасить все натуральные числа в красный и синий цвета, чтобы любые два числа, отличающиеся на 5, были разных цветов, и любые два числа, отличающиеся в два раза, были разных цветов?
Ответ:
Решение:
В каждую клетку таблицы $5\times5$ невидимыми чернилами вписано натуральное число. Известно, что сумма всех чисел равна 200, а сумма трёх чисел, находящихся внутри любого прямоугольника $1\times3$, равна 23. Чему равно центральное число в таблице?
Ответ:
Решение:
На некоторые границы клеток доски $10\times 10$ положили спички, а в одну из клеток — фишку, как показано на рисунке. За один ход фишку можно передвигать в соседнюю по стороне клетку, перепрыгивать через спичку запрещено.
Клетка называется достижимой, если в неё можно попасть за несколько ходов из клетки $X$, убрав с доски не более одной спички.
Среди 6 клеток с кружочками выберите все, являющиеся достижимыми.
Клетка называется достижимой, если в неё можно попасть за несколько ходов из клетки $X$, убрав с доски не более одной спички.
Среди 6 клеток с кружочками выберите все, являющиеся достижимыми.
Ответ:
Решение: