Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} y=|a-3|x+1|+x+3|+3|x+1|,\\ 2^{2-y}\log_{\sqrt{3}}\left((x+|a+2x|)^2-6(x+1+|a+2x|)+16\right)+2^{x+|a+2x|}\log_{1/3}\left(y^2+1\right)=0,\\ x+|a+2x|\leqslant3 \end{cases} \] имеет единственное решение $(x;y)$, где $x$ и $y$ — целые числа. Укажите это решение при каждом из найденных $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство \[ 2\sqrt{x^2+324}-f(x)\geqslant\frac{x^2+324}{f(x)-a}-a \] имеет единственное решение, если $f(x)=\sqrt{g^2(x)-400}$, $g(x)=19+2\cos2x+4\cos x$.
Ответ:
Решение:
Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение \[ \log_2\dfrac{3\sqrt3+(\sin x+4)\cos a}{3\sin a\cos x}=|3\sin a\cos x|\,\left|(\sin x+4)\cos a+3\sqrt3\right|. \]
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \left((1-x^2)^2+2a^2+a\right)^5-\left((3a-1)(1-x^2)+6\right)^5=2a+5+(1-3a)x^2-2a^2-(1-x^2)^2 \] имеет два различных решения на отрезке $\left[-\sqrt6/2;\,\sqrt2\right]$. Укажите эти решения для каждого найденного $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все такие $a$ и $b$, что $|a|+|b|\geqslant\dfrac{2}{\sqrt3}$ и при всех $x$ выполнено неравенство \[|a\sin x+b\sin 2x|\leqslant 1.\]
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ 4^{|x-a|}\log_{\frac13}\left(x^2-2x+4\right)+2^{x^2-2x}\log_{\sqrt{3}}\bigl(2|x-a|+3\bigr)=0 \] имеет ровно три решения?
Ответ:
Решение:
Для каждого значения $a$ решите уравнение \[ \left|x-2^{\frac{1}{\sin^2(2a)}}\right|+\left|x-2^{-4\operatorname{tg}(3a)}\right|+a\left(a+\frac{\pi}{12}\right)^2\left(a-\frac{\pi}{12}\right)=0. \]
Ответ:
Решение:
Укажите все значения параметра $a$, при каждом из которых система \[ \begin{cases} x^2+2y^2+2y(x-a)+a^2=0, \\ 2^{-2-y}\cdot\log_2 x\lt 1 \end{cases} \] имеет решения, и найдите эти решения.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ 25^{-|x-a|}\log_{\sqrt[5]{7}}(x^2-2x+3)+5^{-x^2+2x}\log_{\frac17}(2|x-a|+2)=0 \] имеет ровно три различных решения.
Ответ:
Решение:
Найдите все положительные значения параметра $a$, при которых среди чисел последовательности \[x_n=-n^2+10n+22+\frac{10}{|5n-31|+a}\,,\quad n=1,2,\ldots\] есть ровно два максимальных элемента.
Ответ:
Решение:
Пусть \[ g(x)=\frac{2}{x^2-8x+17}. \] Найдите все возможные значения параметра $a$, при которых неравенство \[ a^2+6a+\frac{727}{145}\leqslant g\left(g^4(x)\right)\leqslant10a^2+29a+2 \] выполняется при всех действительных $x$. В ответ запишите разность между наибольшим и наименьшим возможными значениями параметра $a$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ \left|\dfrac{x^2-2ax+a^2+1}{x-a}\right|+x^2-6x+7=0 \] имеет хотя бы одно решение?
Ответ:
Решение:
При каждом значении $a$ решите уравнение \[ |x-1|+|x+1|+|x-2|+|x+2|+|x-3|+|x+3|+\ldots+|x-2015|+|x+2015|+2x^2+2a^2+4030^2-8060x-8060a=4030x. \]
Ответ:
Решение:
Укажите наименьшее положительное значение $a$, при котором неравенство \[ 2^{5-\frac{1}{x}}\geqslant a+\sin\left(2^x\right) \] не имеет ни одного решения $x\gt 0$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, для каждого из которых при любом $x$ наибольшее из двух чисел $x^3+3x+a-9$ и $a+2^{5-x}-3^{x-1}$ положительно.
Ответ:
Решение:
Найдите максимальное значение $y$, при котором существует ровно два значения переменной $x$, удовлетворяющих уравнению $\sqrt{6-y}+\sqrt{y+2}=x^4-8x^2+20$.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем по модулю значении параметра $\alpha$ уравнение \[ 1234\sin^{20}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-789\cos^{23}\left(\alpha x-\frac{\pi}{4}\right)=2023 \] имеет решение на отрезке $[-\pi;\pi]$?
Ответ:
Решение: