При каком наибольшем значении параметра $a$ коэффициент при $x^4$ в разложении многочлена $\left(1-2x+ax^2\right)^8$ будет равен $-1540$?
Ответ:
Решение:
Определите значение функции \[ f(x)=x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \] в точке $x=2018$, если $f(2019)=f(2023)=0$, $f(2020)=f(2022)=3$, $f(2021)=4$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Даны три функции: \[ \begin{aligned} f_1(x)&=(x+a_1)\left(x^2+b_1x+6\right),\\ f_2(x)&=(x+a_2)\left(x^2+b_2x+8\right),\\ f_3(x)&=(x+a_3)\left(x^2+b_3x+12\right). \end{aligned} \] Все числа $a$ и $b$ положительны, а также для каждого действительного $x$ выполняется условие $f_1(x)=f_2(x)=f_3(x)$. Найти значение суммы $a_1+b_1+a_2+b_2+a_3+b_3$.
Ответ:
Решение:
Многочлен $a_{2014}x^{2014}+a_{2013}x^{2013}+\ldots+a_1x+a_0$ при всех значениях $x$ совпадает с функцией\[y=\frac{(x-1)(x-2)\ldots(x-2014)}{2014!}.\]Найдите сумму чисел $a_2+a_4+\ldots+a_{2014}$.
Ответ:
Решение:
Найти приведенный многочлен $P(x)$ (коэффициент при старшей степени $x$ равен $1$), для которого справедливо тождество $xP(x-1)=(x-3)P(x)$ по переменной $x$.
Ответ:
Решение:
Найти многочлен $P(x)$ степени $2020$, для которого $P(5)=2019$, $P(6)=2021$ и $P(4+x)=P(8-x)$ для всех $x$.
Ответ:
Решение:
Для какого наибольшего числа $N$ существуют такие числа $m$ и $k$, что $N=m+k$, а уравнения \[ x^3-3x^2-2x=m\quad\text{и}\quad x^3+4x^2-9x=k \] имеют два общих корня?
Ответ:
Решение:
Про многочлен \[ q(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+a_6x^6 \] известно, что каждый из коэффициентов $a_0,\ldots,a_6$ по модулю равен 0, 1 или 2, а значение $q(3)=546$. Найдите максимально возможное значение $q(4)$.
Ответ:
Решение:
Для какого наибольшего числа $N$ существуют такие числа $m$ и $k$, что $N=m+k$, а уравнения \[x^3-11x=m\quad\text{и}\quad x^2-2x=k\] имеют два общих корня?
Ответ:
Решение:
Про многочлен \[q(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5\] известно, что каждый из коэффициентов $a_0,\ldots,a_5$ равен либо $+1$, либо $-1$, а значение $q(2)=-37$. Найдите $q(-3)$.
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $P(x)=\frac{1}{16}\left(4x^5-x^3+1\right)^3\left(x^4-x+2\right)$. Найдите все натуральные решения уравнения $Ax+By=37$, где $A$ — сумма коэффициентов многочлена $P(x)$, стоящих при четных степенях $x$, $B$ — сумма коэффициентов многочлена $P(x)$, стоящих при нечетных степенях $x$.
Ответ:
Решение:
Приведите пример такого квадратного трёхчлена $P(x)$, что при любом $x$ справедливо равенство \[ P(x)+P(x+1)+\ldots+P(x+10)=x^2. \]
Ответ:
Решение:
Какие значения может принимать выражение $x_1^2+x_1x_2+x_2^2$, где $x_1$ и $x_2$ — несовпадающие между собой корни уравнения $x^3-2015x+2016=0$?
Ответ:
Решение:
Доказать, что число $x_1=-\sin\dfrac{\pi}{18}$ является корнем кубического уравнения \[ 8x^3-6x-1=0. \] Найти два других его корня.
Ответ:
Решение:
Петя написал на бумаге некоторый многочлен с неотрицательными целыми коэффициентами и думал, что Вася, задав только два вопроса Пете по телефону, никогда не сможет определить все коэффициенты многочлена. На первый Васин вопрос: «Чему равно значение многочлена при $x=3$?» Петя ответил «$49$». На второй Васин вопрос: «Чему равно значение многочлена при $x=49$?» был получен ответ «$122455$». Вася, немного подумав, назвал Пете все коэффициенты многочлена, который он написал. Какой многочлен придумал Петя?
Ответ:
Решение:
$a_n$ — арифметическая прогрессия, $p_n(x)=a_nx^3-(a_n+1)x^2-(6a_n-1)x+6$ — многочлен, для которого $p_n(2)=-16n-4$ для всех натуральных $n$. Найти сумму корней уравнения $p_5(x)\cdot p_6(x)\cdot p_7(x)=0$.
Ответ:
Решение:
Даны квадратный трёхчлен $f(x)$ и линейная функция $\ell(x)$ такая, что $\ell(1)=2$. Известно, что функция $g(x)=f\bigl(\ell(x)\bigr)-\ell\bigl(f(x)\bigr)$ принимает все действительные значения и $g(0)=5$. Найдите $f(1)$, если $f(0)=7$.
Ответ:
Решение:
Сколько существует троек чисел $a$, $b$, $c$, каждое из которых служит корнем соответствующего уравнения $ax^2+bx+c=0$?
Ответ:
Решение:
Дано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ с целыми ненулевыми коэффициентами $a$, $b$ и $c$, имеющее целый корень. Может ли оказаться, что если увеличить любой из этих трёх коэффициентов на $1$, то полученное уравнение останется квадратным и также будет иметь целый корень?
Ответ:
Решение: