В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AD$, $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $H$. Три окружности с центрами в точках $D$, $E$, $F$, проходящие через $H$, пересекают прямые $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно в шести различных точках. Докажите, что эти шесть точек можно разбить на две тройки так, чтобы для двух треугольников, образованных этими тройками точек, нашлась окружность, касающаяся всех шести прямых, содержащих стороны этих треугольников.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Найдите величину угла $ACB$, если известно, что $\angle ACD=72^\circ$ и $AB=BD$.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность с центром $O$, при этом $\angle AOB=75^\circ$, $AB=3$. Найдите площадь круга, ограниченного описанной вокруг треугольника $ABE$ окружностью, где $E$ — точка пересечения прямых $AD$ и $BC$.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=2$, $BC=4$, $CD=5$ вписали окружность и вокруг него описали окружность. Найдите площадь четырёхугольника.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ лежит на описанной около правильного треугольника $ABC$ окружности и не совпадает с его вершинами. Докажите, что сумма расстояний от точки $M$ до прилегающих вершин треугольника равна расстоянию от точки $M$ до третьей его вершины: $AM+CM=BM$.
Ответ:
Решение:
В трапецию $ABCD$ можно вписать окружность. Длины её боковых сторон $AB$ и $CD$ равны соответственно $3$ и $5$, а длина основания $AD$ больше длины $BC$. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно $5/11$. Найдите радиус вписанной в трапецию окружности и длины её диагоналей.
Ответ:
Решение:
Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, пересекаются в точке $P$. Известно, что расстояния от точки $P$ до сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ равны $4$, $\sqrt3$, $\frac{8}{\sqrt{19}}$ и $8\sqrt{\frac{3}{19}}$ соответственно (основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на стороны, лежат на этих сторонах).
а) Найдите отношение $AP:PC$.
б) Найдите длину диагонали $BD$, если дополнительно известно, что $AC=10$.
а) Найдите отношение $AP:PC$.
б) Найдите длину диагонали $BD$, если дополнительно известно, что $AC=10$.
Ответ:
Решение:
В окружность $\Omega$ радиуса 13 вписаны трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$) и прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$ таким образом, что $AC\perp B_1D_1$, $BD\perp A_1C_1$. Найдите отношение площади $ABCD$ к площади $A_1B_1C_1D_1$, если известно, что $AD=10$, $BC=24$.
Ответ:
Решение:
В окружность $\Omega$ радиуса 10 вписаны трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$) и прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$ таким образом, что $AC\parallel B_1D_1$, $BD\parallel A_1C_1$. Найдите отношение площадей $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, если известно, что $AD=16$, $BC=12$.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольнике $ABCD$, вписанном в окружность, известно, что $AB=48$, $BC=60$, $CD=24$, $AD=12$. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, а прямые $AD$ и $BC$ — в точке $F$. Найдите квадрат длины отрезка $EF$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с диаметром $AB$, а $H$ — ортогональная проекция точки $D$ на $AB$. Диагональ $AC$ пересекает отрезок $DH$ в точке $X$. Найдите $CD$, если $DX=20$, $AX=15$, $CX=36$.
Ответ:
Решение:
Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ является диаметром, а $AB=BD$. Известно, что радиус его описанной окружности равен 5, а расстояние от вершины $C$ до точки пересечения диагоналей равно 1. Найдите косинус угла $ABD$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega$, а его диагональ $AC$ — биссектриса угла $BAD$. Найдите радиус окружности $\omega$, если $AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $AC=\dfrac{3}{2}$, $AD=\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$. Ответ округлите до третьего знака после запятой.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольник $ABCD$ можно вписать окружность. Пусть точка $I$ — центр этой окружности. Прямые $a_C$ и $a_D$, проведённые соответственно через точку $C$ параллельно $BI$ и через точку $D$ параллельно $AI$, пересекаются в точке $P$. Найдите $\angle DPI$, если $\angle BCD=100^\circ$.
Ответ:
Решение:
Известно, что в трапецию с углом $30^\circ$ при основании можно вписать окружность и около нее можно описать окружность. Найти отношение площади трапеции к площади вписанного в нее круга. Найти отношение площади трапеции к площади описанного около нее круга.
Ответ:
Решение:
Длина стороны $AD$ четырехугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равна $5$. Точка $M$ делит эту сторону в отношении $AM:MD=1:4$, а прямые $MC$ и $MB$ параллельны сторонам $AB$ и $CD$ соответственно. Найти длину стороны $BC$ четырехугольника.
Ответ:
Решение:
Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ окружности являются вершинами четырехугольника $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны. Длины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырехугольника равны $\sqrt{21}$, $3$, $2$ и $4$ соответственно. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $DB$ перпендикулярны сторонам $DC$ и $AB$ соответственно. Из точки $B$ проведён перпендикуляр на сторону $AD$, пересекающий $AC$ в точке $O$. Найдите $AO$, если $AB=4$, $OC=6$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Касательные к этой окружности, проведённые в точках $A$ и $C$, пересекаются на прямой $BD$. Найдите сторону $AD$, если $AB=2$ и $BC:CD=4:5$.
Ответ:
Решение:
Из отрезков длин 3, 5, 7 и 9 составлен четырёхугольник, в который вписана окружность. К ней проведены две касательные: одна пересекает одну пару соседних сторон четырёхугольника, а другая — пару оставшихся. Найдите разность периметров треугольников, отсечённых от четырёхугольника этими касательными.
Ответ:
Решение: