Прямоугольник $ABCD$ таков, что $AD=2AB$. Точка $M$ — середина стороны $AD$. Внутри прямоугольника нашлась точка $K$ такая, что $\angle AMK=80^\circ$ и луч $KD$ является биссектрисой угла $MKC$. Сколько градусов составляет угол $KDA$?
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ сторона $BC$ вдвое меньше, чем $AD$. Диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$, а диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$. Найдите больший острый угол этого четырёхугольника, если меньший равен $36^\circ$.
Ответ:
Решение:
На окружности $\omega$ по разные стороны от диаметра $AC$ расположены точки $B$ и $D$. Известно, что $AB=3\sqrt{6}$, $CD=3$, а площадь треугольника $ABC$ в три раза больше площади треугольника $BCD$. Найдите радиус окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BD$. На отрезке $BD$ выбрали точку $K$ так, что $AD\parallel KC$. Описанная окружность треугольника $KDC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$. Известно, что $\angle ABD=48^\circ$ и $\angle CBD=13^\circ$. Сколько градусов составляет угол $BAL$?
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоты $BB_1$ и $CC_1$. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Прямая $C_1M$ повторно пересекает описанную окружность треугольника $BCC_1$ в точке $X$. Точка $O$ является центром описанной окружности треугольника $B_1MX$. Найдите $ON$, если $AB=10$, $B_1M=3$, $\angle A=60^\circ$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике провели высоту $BH$. На дуге $AC$ описанной окружности треугольника $ABC$, не содержащей точку $B$, отметили точку $X$ такую, что $BX=BC$. Прямая, проходящая через $X$ параллельно $AB$, пересекает отрезки $AC$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$. Найдите длину отрезка $PQ$, если $AB=7$, $AC=10$, $AH=3$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Пусть $BK$ — биссектриса этого треугольника. Окружность, описанная около треугольника $AKB$, пересекает вторично сторону $BC$ в точке $L$. Докажите, что $CB+CL=AB$.
Ответ:
Решение:
Дан остроугольный треугольник $ABC$. Окружности с центрами $A$ и $C$ проходят через точку $B$, вторично пересекаются в точке $F$ и пересекают описанную около треугольника $ABC$ окружность $\omega$ в точках $D$ и $E$. Отрезок $BF$ пересекает окружность $\omega$ в точке $O$. Докажите, что $O$ — центр описанной окружности треугольника $DEF$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены медиана $AM$ и высота $BH$. Перпендикуляр, восстановленный в точке $M$ к прямой $AM$, пересекает луч $HB$ в точке $K$. Докажите, что если $\angle MAC=30^\circ$, то $AK=BC$.
Ответ:
Решение:
Дан неравнобедренный треугольник $ABC$, в котором $\angle B=135^\circ$. Пусть $M$ — середина отрезка $AC$. Точка $O$ — центр окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$. Луч $BM$ вторично пересекает окружность $\Omega$ в точке $D$. Докажите, что центр окружности $\Gamma$, описанной около треугольника $BOD$, лежит на прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Точки $P$ и $Q$ — центры вписанных окружностей треугольников $ABM$ и $CBM$ соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников $ABP$ и $CBQ$ лежит на отрезке $BM$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ на гипотенузу $AC$ опущена высота $BH$. На стороне $BC$ отмечена точка $D$, на отрезке $BH$ — точка $E$, а на отрезке $CH$ — точка $F$ так, что $\angle BAD=\angle CAE$ и $\angle AFE=\angle CFD$. Докажите, что $\angle AEF=90^\circ$.
Ответ:
Решение:
Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Прямая $AO$ пересекает отрезок $BC$ в точке $D$. Точка $E$ выбрана на отрезке $BC$ так, что $D$ — середина отрезка $CE$. Основание $T$ перпендикуляра, опущенного из $E$ на $CO$, лежит в треугольнике $ABD$. Прямая $BT$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABD$, в точке $K$. Докажите, что прямые $AK$ и $CO$ параллельны.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ медианы $AM_A$, $BM_B$ и $CM_C$ пересекаются в точке $M$. Построим окружность $\Omega_A$, проходящую через середину отрезка $AM$ и касающуюся отрезка $BC$ в точке $M_A$. Аналогично строятся окружности $\Omega_B$ и $\Omega_C$. Докажите, что окружности $\Omega_A$, $\Omega_B$ и $\Omega_C$ имеют общую точку.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $\angle DAB=90^\circ$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Оказалось, что $\angle ADC=\angle BAM$. Докажите, что $\angle ADB=\angle CAM$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ описана около остроугольного треугольника $ABC$. На стороне $AB$ выбрана точка $D$, а на стороне $BC$ — точка $E$ так, что $DE\parallel AC$. Точки $P$ и $Q$ на меньшей дуге $AC$ окружности $\omega$ таковы, что $DP\parallel EQ$. Лучи $QA$ и $PC$ пересекают прямую $DE$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что $\angle XBY+\angle PBQ=180^\circ$.
Ответ:
Решение:
Равносторонний треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$ и описан вокруг окружности $\omega$. На сторонах $AC$ и $AB$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что отрезок $PQ$ проходит через центр $O$ треугольника $ABC$. Окружности $\Gamma_b$ и $\Gamma_c$ построены на отрезках $BP$ и $CQ$ как на диаметрах. Докажите, что окружности $\Gamma_b$ и $\Gamma_c$ пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на $\Omega$, а другая — на $\omega$.
Ответ:
Решение:
Дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Окружность $\omega$ проходит через вершины $B$ и $C$ и вторично пересекает сторону $AB$ и диагональ $BD$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Касательная, проведенная к окружности $\omega$ в точке $C$, пересекает луч $AD$ в точке $Z$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $BC$ взята точка $D$. На меньшей дуге $CD$ окружности, описанной около треугольника $BCD$, выбрана точка $K$. Луч $CK$ пересекает прямую, параллельную $BC$ и проходящую через $A$, в точке $T$. Пусть $M$ — середина отрезка $DT$. Докажите, что $\angle AKT=\angle CAM$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$. Окружность, описанная около треугольника $ABL$, пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Оказалось, что точка $S$, симметричная точке $C$ относительно прямой $DL$, лежит на стороне $AB$ и не совпадает с её концами. Какие значения может принимать $\angle ABC$?
Ответ:
Решение: