Дан четырёхугольник $ABCD$, причём \[AD=BC,\quad \angle DAC=97^\circ,\quad \angle CBD=83^\circ\quad\text{и}\quad \angle BCD=65^\circ.\] Найдите $\angle ACD$ (ответ дайте в градусах).
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ расположена точка $P$. На стороне $BC$ выбрана точка $H$, не совпадающая с серединой стороны. Оказалось, что биссектриса угла $AHP$ перпендикулярна стороне $BC$, угол $ABC$ равен углу $HCP$ и $BP=AC$. Докажите, что $BH=AH$.
Ответ:
Решение:
На плоскости отмечены 5 точек. Докажите, что можно выбрать некоторые из них и переместить их так, чтобы расстояние между любыми двумя перемещёнными точками не изменилось, а в результате на плоскости осталось множество из 5 точек, симметричное относительно некоторой прямой.
Ответ:
Решение:
Прямые, содержащие стороны данного остроугольного треугольника $T$, покрасили в красный, зелёный и синий цвета. Затем эти прямые повернули вокруг центра описанной окружности данного треугольника по часовой стрелке на угол $120^\circ$ (прямая сохраняет свой цвет после поворота). Докажите, что три точки пересечения одноцветных прямых являются вершинами треугольника, равного $T$.
Ответ:
Решение:
Биссектриса угла $A$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекает сторону $CD$ в точке $K$. Оказалось, что $DK=BC$ и $KC+AB=AD$. Докажите, что $\angle BCD=\angle ADC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведены медиана $AM$ и высота $AH$. На прямых $AB$ и $AC$ отмечены точки $Q$ и $P$ соответственно так, что $QM\perp AC$ и $PM\perp AB$. Окружность, описанная около треугольника $PMQ$, пересекает прямую $BC$ вторично в точке $X$. Докажите, что $BH=CX$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$, в которой $AD\parallel BC$, а лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $G$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $ABC$ и $ACD$, пересекаются в точке $E$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $ABD$ и $BCD$, пересекаются в точке $F$. Докажите, что точки $E$, $F$ и $G$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно. Отрезки $CP$ и $AQ$ пересекаются в точке $R$. Оказалось, что $AR=CR=PR+QR$. Докажите, что из отрезков $AP$, $CQ$ и $PQ$ можно составить треугольник, один из углов которого равен углу $B$.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ такая, что \[ \angle KCB+\angle ACB=\angle KBC+\angle ABC=120^\circ. \] На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ выбрана точка $P$, а на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ — точка $Q$ таким образом, что $BK=BP$ и $CK=CQ$. Докажите, что $BQ=CP$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ медиана, выходящая из вершины $A$, перпендикулярна биссектрисе угла $B$, а медиана, выходящая из вершины $B$, перпендикулярна биссектрисе угла $A$. Известно, что сторона $AB=1$. Найдите периметр треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $134^\circ$, а высота, опущенная из вершины $A$, в два раза меньше биссектрисы угла $A$. Найдите угол $C$. Ответ выразите в градусах.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ провели медиану $AM$. Найдите угол $AMC$, если углы $BAC$ и $BCA$ равны $45^\circ$ и $30^\circ$ соответственно.
Ответ:
Решение:
Высота $CH$, опущенная из вершины прямого угла треугольника $ABC$, делит биссектрису $BL$ этого треугольника пополам. Найдите угол $BAC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. Точки $E$ и $D$ отмечены на отрезках $AB$ и $BL$ соответственно так, что $DL=LC$, $ED\parallel AC$. Найдите длину отрезка $ED$, если известно, что $AE=15$, $AC=12$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ провели высоту $CH$. На гипотенузе отметили точки $X$ и $Y$, такие что $CX$ и $CY$ — биссектрисы углов $BCH$ и $HCA$ соответственно. Найдите, чему равна длина стороны $AB$, если известно, что периметр треугольника $ABC$ равен 44, а длина отрезка $XY$ равна 6.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Известно, что $\angle ABM=40^\circ$, а $\angle CBM=70^\circ$. Найдите отношение $AB:BM$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина $AC$, кроме того, \[BC=2AC/3\quad\text{и}\quad \angle BMC=2\angle ABM.\] Найдите отношение $AM/AB$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $K$. $KM$ и $KP$ — это биссектрисы треугольников $AKB$ и $AKC$ соответственно. Оказалось, что диагональ $MK$ делит четырёхугольник $BMPK$ на два равных треугольника. Докажите, что $M$ — середина $AB$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BD$, а в треугольниках $ABD$ и $CBD$ — биссектрисы $DE$ и $DF$ соответственно. Оказалось, что $EF\parallel AC$. Найдите угол $DEF$.
Ответ:
Решение:
Боря нарисовал девять отрезков, три из которых равны трём высотам треугольника $ABC$, три — трём биссектрисам, три — трём медианам. Оказалось, что для любого из нарисованных отрезков среди остальных восьми найдётся равный ему. Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.
Ответ:
Решение: