Пусть для некоторого $\alpha$ уравнение $ax^2+bx+c=0$ имеет два различных корня $x_1=\cos\alpha$ и $x_2=\sin\alpha$. Какое наименьшее значение может принимать $b$, если $a+2c=\dfrac{9}{a}$?
Ответ:
Решение:
Известно, что если уменьшить каждый из корней уравнения $x^2+bx+c=0$ на $3$, то полученные числа будут корнями уравнения $x^2+cx+b=0$. Найдите сумму всех четырёх корней этих уравнений.
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ имеет три корня, равные попарным суммам корней многочлена $Q(x)=x^3+2x^2-3x-1$. Найти $a$, $b$, $c$.
Ответ:
Решение:
Прямая проходит через точку с координатами $(10,0)$ и пересекает параболу $y=x^2$ в точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$. Найдите $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$.
Ответ:
Решение:
Различные целые числа $m$ и $n$ таковы, что числа $\left(\dfrac1m-2\right)$ и $\left(\dfrac1n-2\right)$ являются корнями квадратного трёхчлена $x^2+ax+b$ с целыми коэффициентами. Найти все возможные значения выражения $a+b$.
Ответ:
Решение:
Найдите $a$ такое, что сумма квадратов действительных корней уравнения $x^4+ax^2-2017=0$ равна 4.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму $\frac1x+\frac1y+\frac1z$, если известно, что три различных действительных числа $x$, $y$ и $z$ удовлетворяют условиям: \[ x^3+1009=2018x,\quad y^3+1009=2018y,\quad z^3+1009=2018z. \]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число $q$, для которого существует такое целое число $p$, что уравнение $x^4+px^2+q=0$ имеет четыре корня, образующих арифметическую прогрессию.
Ответ:
Решение:
Учитель выписал на доске квадратное уравнение \[ x^2+ax+2022=0. \] Андрей подставил вместо $a$ по очереди все целые числа от $0$ до $99$ и решил все из получившихся $100$ уравнений. Найдите сумму всех получившихся у Андрея действительных корней этих уравнений. При необходимости округлите ответ до сотых.
Ответ:
Решение:
Алёша написал на доске $5$ целых чисел — коэффициенты и корни квадратного трёхчлена. Боря стёр одно из них. Остались числа $2$, $3$, $4$, $-5$ в каком-то порядке. Восстановите стёртое число и докажите, что было написано именно оно.
Ответ:
Решение:
Квадратный трёхчлен $x^2+bx+c$ имеет два действительных корня. Каждый из трёх его коэффициентов (включая коэффициент при $x^2$) увеличили на $1$. Могло ли оказаться, что оба корня трёхчлена также увеличились на $1$?
Ответ:
Решение:
Найти сумму квадратов корней уравнения: \[ \left(x^2+4x\right)^2-2016\left(x^2+4x\right)+2017=0. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Докажите, что многочлен $P(t)=t^3-2t^2-10t-3$ имеет три различных действительных корня. Найдите многочлен $R(t)$ третьей степени с корнями $u=x^2y^2z$, $v=x^2z^2y$, $w=y^2z^2x$, где $x$, $y$, $z$ — различные корни многочлена $P(t)$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Пусть $a$, $b$, $c$ — корни многочлена \[ P(x)=x^3+x^2-2x-1. \] Найдите $a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2$.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ x^3-13x^2+39x+m=0, \] зная, что оно имеет три различных корня и его корни образуют возрастающую геометрическую прогрессию. В ответе укажите сумму значения $m$ и всех трёх его корней.
Ответ:
Решение:
Известно, что для положительных чисел $a$, $b$, $c$ каждое из трёх уравнений \[ ax^2+10bx+c=0,\quad bx^2+10cx+a=0,\quad cx^2+10ax+b=0 \] имеет хотя бы один действительный корень. Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно $9$? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня.)
Ответ:
Решение:
Уравнение $x^2+ax+6=0$ имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$; при этом \[ x_1-\dfrac{72}{25x_2^3}=x_2-\dfrac{72}{25x_1^3}. \] Найдите все возможные значения $a$.
Ответ:
Решение:
Уравнение $x^2+ax+3=0$ имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$; при этом \[ x_1^3-\dfrac{39}{x_2}=x_2^3-\dfrac{39}{x_1}. \] Найдите все возможные значения $a$.
Ответ:
Решение: