Найдите все целочисленные значения $a$, $b$, $c$ такие, что существуют три различных корня уравнения \[ x^3+(8+b)x^2+(b+4)x+(c+3)=0, \] которые являются корнями уравнения \[ x^4+5x^3+ax^2+bx+c=0. \]
Ответ:
Решение:
Известно, что $a$, $b$, $c$ — три попарно различных действительных числа. Найдите наибольшее возможное при этом условии значение $x$, являющегося корнем уравнения \[ a^2(x-b)(b-c)(c-x)+b^2(a-x)(x-c)(c-a)+c^2(a-b)(b-x)(x-a)=100(a-b)(b-c)(c-a). \]
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $P(x)$, не равный нулю тождественно. Известно, что при всех $x$ выполняется тождество $(x-2020)\cdot P(x+1)=(x+2021)\cdot P(x)$. Сколько корней имеет уравнение $P(x)=0$?
Ответ:
Решение:
Учитель написал на доске в алфавитном порядке все возможные $2^n$ слов, состоящих из $n$ букв А или Б. Затем он заменил каждое слово на произведение $n$ множителей, исправив каждую букву А на $x$, а каждую букву Б — на $(1-x)$, и сложил между собой несколько первых из этих многочленов от $x$. Докажите, что полученный многочлен представляет собой либо постоянную, либо возрастающую на отрезке $[0;1]$ функцию от $x$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение \[ a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots+a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0 \] имеет хотя бы один действительный корень.
Ответ:
Решение:
Дан многочлен степени $2022$ с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом $1$. Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале $(0;1)$?
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $P(x)$ степени $n\gt 5$ с целыми коэффициентами, имеющий $n$ различных целых корней. Докажите, что многочлен $P(x)+3$ имеет $n$ различных действительных корней.
Ответ:
Решение:
Дан многочлен степени $n\geqslant 1$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.
Ответ:
Решение:
Продавец хочет разрезать кусок сыра на части, которые можно будет разложить на две кучки равного веса. Он умеет разрезать любой кусок сыра в одном и том же отношении $a:(1-a)$ по весу, где $0\lt a\lt 1$. Верно ли, что на любом промежутке длины $0{,}001$ из интервала $(0;1)$ найдётся значение $a$, при котором он сможет добиться желаемого результата с помощью конечного числа разрезов?
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)$ удовлетворяет условиям: $P(0)=1$, $(P(x))^2=1+x+x^{100}Q(x)$, где $Q(x)$ — некий многочлен. Докажите, что коэффициент при $x^{99}$ в многочлене $(P(x)+1)^{100}$ равен нулю.
Ответ:
Решение:
Существуют ли два многочлена с целыми коэффициентами такие, что у каждого из них есть коэффициент, модуль которого больше 2015, но у произведения этих двух многочленов модули всех коэффициентов не превосходят 1?
Ответ:
Решение:
Про приведённый многочлен $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$ с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном $m\geqslant 2$ многочлен $\underbrace{P(P(\ldots P}_{m\text{ раз}}(x)\ldots))$ имеет действительные корни, причём только положительные. Обязательно ли сам многочлен $P(x)$ имеет действительные корни, причём только положительные?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное $n\geqslant 2$. Симметрический многочлен $P(x_1,\ldots,x_n)$ таков, что уравнение $P(x_1,\ldots,x_n)=0$ имеет вещественные решения, причём все эти решения получаются перестановкой чисел из одного единственного набора $a_1,\ldots,a_n$. Известно, что в этом наборе есть хотя бы два различных числа. Для каждого $n\geqslant 2$ найдите наименьшую возможную степень многочлена $P$.
Ответ:
Решение:
Максим загадал многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами. За один ход Надя может назвать любой многочлен $Q(x)$ с вещественными коэффициентами, а ответ Максим должен сообщить Наде следующие два факта:
1) достигается ли максимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно;
2) достигается ли минимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно.
Надя хочет последовательно сделать несколько таких ходов, а затем назвать такое вещественное число $t$, что $|P(2026)-t|\lt 10^{-100}$. Докажите, что Надя может действовать так, чтобы гарантированно добиться желаемого. (Надя сама решает, когда ей перестать задавать вопросы).
1) достигается ли максимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно;
2) достигается ли минимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно.
Надя хочет последовательно сделать несколько таких ходов, а затем назвать такое вещественное число $t$, что $|P(2026)-t|\lt 10^{-100}$. Докажите, что Надя может действовать так, чтобы гарантированно добиться желаемого. (Надя сама решает, когда ей перестать задавать вопросы).
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Дискриминант приведённого квадратного трёхчлена равен $D$. Найдите его больший корень, если известно, что его корни различны, и они равны $D$ и $1{,}5D$.
Ответ:
Решение:
Для каждого целого $k$ ($-36\leqslant k\leqslant 15$) Петя выписал на доску трёхчлен \[ y=x^2+kx+117. \] После чего Вася для каждого из этих трёхчленов выписал его действительные корни (если они есть). Чему равна сумма выписанных Васей чисел?
Ответ:
Решение:
На сколько одно из положительных чисел больше другого, если их среднее арифметическое равно $2\sqrt3$, а среднее геометрическое равно $\sqrt3$?
Ответ:
Решение:
Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $2x^2-7x+1=0$. Известно, что уравнение $x^2+px+q=0$ имеет корни $x_1/x_2^2$ и $x_2/x_1^2$. Найдите $p$.
Ответ:
Решение:
Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $2x^2-7x+1=0$. Известно, что уравнение $x^2+px+q=0$ имеет корни $\dfrac{x_1}{x_2^2}$ и $\dfrac{x_2}{x_1^2}$. Найдите $p$.
Ответ:
Решение: