Треугольники $A_1B_1C_1$, $A_2B_2C_2$, $\ldots$, $A_{2012}B_{2012}C_{2012}$ таковы, что вершинами треугольника $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$ являются точки касания сторон треугольника $A_nB_nC_n$ и вписанной в этот треугольник окружности ($n=1,2,\ldots,2011$). Найдите углы треугольника $A_1B_1C_1$, если известно, что наибольший угол этого треугольника равен одному из углов треугольника $A_{2012}B_{2012}C_{2012}$.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$, в котором сумма сторон $AB$ и $BC$ в $9/5$ раз больше стороны $AB$, вписана окружность, касающаяся сторон $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Отношение площади треугольника $MNC$ к площади треугольника $ABC$ равно $r$. Найдите при данных условиях:
а) наименьшее значение $r$;
б) все возможные значения $r$.
а) наименьшее значение $r$;
б) все возможные значения $r$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ угол $A$ равен $30^\circ$. Точка $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, $D$ — точка пересечения отрезка $BI$ с этой окружностью. Докажите, что отрезки $AI$ и $CD$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
Точки $O$ и $I$ — центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного треугольника $ABC$. Две равные окружности касаются сторон $AB$, $BC$ и $AC$, $BC$ соответственно; кроме этого, они касаются друг друга в точке $K$. Оказалось, что $K$ лежит на прямой $OI$. Найдите $\angle BAC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AB\lt BC$) провели высоту $BH$. Точка $P$ симметрична точке $H$ относительно прямой, соединяющей середины сторон $AC$ и $BC$. Докажите, что прямая $BP$ содержит центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$.
Ответ:
Решение:
На описанной окружности треугольника $ABC$ отметили середины дуг $BAC$ и $CBA$ — точки $M$ и $N$ соответственно, и середины дуг $BC$ и $AC$ — точки $P$ и $Q$ соответственно. Окружность $\omega_1$ касается стороны $BC$ в точке $A_1$ и продолжений сторон $AC$ и $AB$. Окружность $\omega_2$ касается стороны $AC$ в точке $B_1$ и продолжений сторон $BA$ и $BC$. Оказалось, что $A_1$ лежит на отрезке $NP$. Докажите, что $B_1$ лежит на отрезке $MQ$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $75^\circ$. На стороне $AC$ выбирается точка $K$. Около треугольников $ABK$ и $CBK$ описываются окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если наименьшая из возможных длина отрезка $O_1O_2$ равна 2 см.
Ответ:
Решение:
Первая окружность с центром в точке $O$ вписана в треугольник $ABC$. Точки $A$ и $B$ лежат на второй окружности с центром в той же точке $O$. Прямая $AC$ пересекает вторую окружность в точке $D$ ($D\ne A$), а прямая $BC$ пересекает вторую окружность в точке $E$ ($B\ne E$). Известно, что угол $ABC$ равен углу $CAE$. Найдите косинус угла $BAC$. Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к ним.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) на стороне $BC$ выбирается точка $N$ так, что окружность, вписанная в треугольник $ACN$, касается стороны $AN$ в точке $K$ и $\angle CDK=18^\circ$, где точка $D$ — середина $AB$. Найдите величину $\angle CAN$.
Ответ:
Решение:
Отрезки $AD$ и $AE$ являются соответственно медианой и высотой треугольника $ABC$, точка $O$ — центр вписанной в этот треугольник окружности, $F$ — точка пересечения прямых $AE$ и $OD$. Найдите отношение периметра треугольника $ABC$ к стороне $BC$, если $FE=3AF$.
Ответ:
Решение:
Около треугольника $ABC$ описана окружность $\omega_1$. Точка $O$ — центр окружности $\omega_2$, вписанной в треугольник $ABC$. Прямая $AO$ пересекает $BC$ в точке $K$ и второй раз окружность $\omega_1$ в точке $N$. Найдите длину $AO$, если $AB=1{,}5BK$ и $KN=4$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точки $A_0$, $B_0$, $C_0$ — середины сторон $BC$, $CA$, $AB$, а $A_1$, $B_1$, $C_1$ — точки касания этих сторон со вписанной окружностью соответственно. Прямые $A_1C_1$, $B_1C_1$ пересекают $A_0B_0$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что прямая $CC_1$ делит отрезок $XY$ пополам.
Ответ:
Решение:
Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них 6 маленьких треугольников. Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны. Докажите, что радиусы вписанных окружностей двух исходных треугольников также равны.
Ответ:
Решение:
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) равен основанию $AC$. На основании $AC$ построен квадрат $AKLC$ так, что отрезок $KL$ пересекает боковые стороны треугольника. Докажите, что треугольник $BKL$ равносторонний.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $MKN$ проведена биссектриса $KL$. Точка $X$ на стороне $MK$ такова, что $KX=KN$. Докажите, что прямые $KO$ и $XL$ перпендикулярны ($O$ — центр описанной окружности треугольника $MKN$).
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $AD$. Вписанные окружности треугольников $ABD$ и $ACD$ касаются $AD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно и касаются $BC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Пусть прямые $PX$ и $QY$ пересекаются в точке $Z$. Найдите площадь треугольника $XYZ$, если известно, что $BC=22$, $AD=12$, а периметр треугольника $ABC$ равен 56.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. Пусть точка $I$ — центр его вписанной окружности, а точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Оказалось, что $\angle PIQ+\angle BIC=180^\circ$. Найдите длину отрезка $BC$, если $AB=20$ и $AC=14$.
Ответ:
Решение:
Два равных прямоугольника $ABCX$ и $DEFX$ расположены так, как на рисунке. Найдите расстояние от середины отрезка $AF$ до центра описанной окружности треугольника $XCD$, если известно, что $CD=5$.
Ответ:
Решение:
Неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. Касательная к этой окружности в точке $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Пусть $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Прямые $AI$ и $BI$ пересекают биссектрису угла $CDB$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. Пусть $M$ — середина отрезка $PQ$. Докажите, что прямая $MI$ проходит через середину дуги $ACB$ окружности $\omega$.
Ответ:
Решение: