Известно, что для всех пар положительных чисел $(x;y)$, для которых выполняются равенство $x+y=8$ и неравенство $x^2+y^2\gt 35$, выполняется и неравенство $x^5+y^5\gt m$. Какое наибольшее значение может принимать $m$?
Ответ:
Решение:
Известно, что для всех пар чисел $(x;y)$, для которых выполняются равенство $x+y=3$ и неравенство $x^2+y^2\gt 14$, выполняется и неравенство $x^3+y^3\gt m$. Какое наибольшее значение может принимать $m$?
Ответ:
Решение:
Какого наибольшего значения может достигать $y$, если известно, что существует такое число $x$, что выполняется соотношение $x-2\sqrt{x+7}=2\sqrt{y+7}-y$?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение выражения $4y+8x$ при условии \[\begin{cases} |x-3y|\leqslant 3,\\ |3x-y|\leqslant 1.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$ таковы, что $|a|\leqslant 6$, $|b|\leqslant 6$. Какое наибольшее значение может принимать выражение $a^3b-3a^2b^2$?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее положительное значение константы $C$ такое, что при любых $a$ и $b$ выполняется неравенство \[ C+a^2+b^2\geqslant ab+a+b. \]
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение выражения $x-2y$ для $(x;y)$, удовлетворяющих уравнению $4x^2+9y^2=25$.
Ответ:
Решение:
Точки $A$ и $B$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $C$ и $D$ на прямую $AB$. Длины отрезков $CA$, $DB$ и $AB$ равны $1$, $3$ и $3$ соответственно. На отрезке $AB$ взята точка $M$ так, что длина отрезка $AM$ равна $x$. Найти наименьшее возможное значение выражения \[ \sqrt{1+x^2}+\sqrt{9+(3-x)^2}. \]
Ответ:
Решение:
Какие наибольшее и наименьшее значения может принимать произведение двух чисел при условии, что их сумма принадлежит отрезку $[4;5]$, а разность — отрезку $[11;12]$?
Ответ:
Решение:
Отрезок $[-3;9]$ является множеством значений функции $f(x)$, отрезок $[-1;6]$ является множеством значений функции $g(x)$. На какую наибольшую величину может отличаться наибольшее значение функции $f(x)g(x)$ от наименьшего значения этой функции?
Ответ:
Решение:
Будем называть колебанием функции разницу между её наибольшим и наименьшим значением. Каким может быть максимальное колебание функции $f(x)g(x)$, если известно, что отрезок $[-8;4]$ является множеством значений функции $f(x)$, а отрезок $[-2;6]$ является множеством значений функции $g(x)$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Число $p$ таково, что неравенство $\dfrac{4a}{3b+4c}+\dfrac{6b}{4c+2a}+\dfrac{8c}{2a+3b}\geqslant p$ выполняется для всех положительных чисел $a$, $b$, $c$. Найдите наибольшее значение $p$.
Ответ:
Решение:
Найти наименьшее значение выражения \[ 2x^2-14x+42+2\sqrt{x^2-10x+34}\cdot\sqrt{x^2-4x+8}. \] В ответ запишите квадрат этого значения.
Ответ:
Решение:
Известно, что для положительных чисел $a$, $b$, $c$ каждое из трёх уравнений \[ ax^2+20bx+c=0,\quad bx^2+20cx+a=0,\quad cx^2+10ax+b=0 \] имеет хотя бы один действительный корень. Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно 11? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня.)
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение параметра $p$, для которого при всех $0\leqslant x\leqslant 1$, $0\leqslant y\leqslant 2$, $0\leqslant z\leqslant 4$ выполняется неравенство $xyz+p\geqslant 11x+4y+2z$.
Ответ:
Решение:
Известно, что для всех пар положительных чисел $(x;y)$, для которых выполняются равенство $x+y=7$ и неравенство $x^2+y^2\gt 28$, выполняется и неравенство $x^4+y^4\gt m$. Какое наибольшее значение может принимать $m$?
Ответ:
Решение:
Известно, что при некоторых $x$ и $y$ ровно два из четырёх чисел \[x-2y-2{,}5;\quad 2x-y-3;\quad x^2-2x+y^2+y+3;\quad x^2-x+y^2+2y+2{,}5\] равны между собой. Найдите наибольшее возможное значение выражения $x+y$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $a,b,c$ — длины сторон, а $\alpha,\beta,\gamma$ — соответственно противолежащие им углы. Какое наибольшее значение может принимать выражение \[ a\left(b^2+c^2\right)\cos(\alpha)+b\left(c^2+a^2\right)\cos(\beta)+c\left(a^2+b^2\right)\cos(\gamma), \] если известно, что $abc=2$?
Ответ:
Решение: