На числовой прямой закрашивают красным и синим цветом точки с целыми координатами по следующим правилам: а) точки, разность координат которых равна 7, должны быть покрашены одним цветом; б) точки с координатами 20 и 14 должны быть покрашены красным, а точки с координатами 71 и 143 — синим. Сколькими способами можно раскрасить все целые числа, соблюдая эти правила?
Ответ:
Решение:
В семиэтажном доме живут домовые. Лифт курсирует между первым и последним этажами, останавливаясь на каждом этаже. На каждом этаже, начиная с первого, в лифт заходил один домовой, но никто не выходил. Когда в лифт зашёл тысячный домовой, лифт остановился. На каком этаже это произошло? Ответ объясните.
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие целые числа $p$ и $q$, что при любых целых значениях $x$ выражение $x^2+px+q$ кратно 3?
Ответ:
Решение:
Можно ли все натуральные числа от 1 до 800 разбить на пары так, чтобы сумма любой пары чисел делилась на 6?
Ответ:
Решение:
а) Натуральное число $n$ меньше 120. Какой наибольший остаток может давать число 209 при делении на $n$?
б) Натуральное число $n$ меньше 90. Какой наибольший остаток может давать число 209 при делении на $n$?
б) Натуральное число $n$ меньше 90. Какой наибольший остаток может давать число 209 при делении на $n$?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное число, которое в 9 раз больше своего остатка от деления на 1024.
Ответ:
Решение:
Петя случайно выбирает натуральное число $d$ от 1 до 5; вероятность выбрать каждое равна $\dfrac{1}{5}$. Затем Петя случайно выбирает натуральное число $a$ от 1 до 1300; вероятность выбрать каждое равна $\dfrac{1}{1300}$. Найдите вероятность того, что один из членов арифметической прогрессии с первым членом $a$ и разностью $d$ будет равен 1825.
Ответ:
Решение:
Из натуральных чисел от 1 до 25 Даша выбрала шесть таких, что разность любых двух выбранных чисел кратна 4. Какое наибольшее количество простых чисел могла выбрать Даша?
Ответ:
Решение:
Натуральное число, большее 1000000, даёт одинаковые остатки при делении на 40 и на 625. Какая цифра может стоять у этого числа в разряде тысяч?
Ответ:
Решение:
По кругу лежали $n$ шариков, где $6\leqslant n\leqslant 100$. Их перемешали и снова выложили по кругу так, что между каждыми двумя шариками, которые до этого были соседями, теперь лежат ровно 2 шарика. Сколько различных значений могло принимать $n$?
Ответ:
Решение:
Сумма остатков от деления трёх последовательных натуральных чисел на 2022 — простое число. Докажите, что одно из чисел делится на 2022.
Ответ:
Решение:
У натурального числа стерли две последние цифры и полученное число прибавили к исходному. Могло ли в сумме получиться число $101^{50}-1$?
Ответ:
Решение:
Вася хочет несколько раз выписать в строчку число 12345 так, чтобы получившееся многозначное число делилось на 41. Какое наименьшее число раз ему нужно это сделать?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$. $n$-Операция состоит в прибавлении к натуральному числу его остатка от деления на $n$. При каких натуральных $n$, больших 1, из каждого натурального числа за несколько $n$-операций получается число, кратное $n$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
По кругу стоят 73 ребёнка. Злой Дед Мороз обходит круг по часовой стрелке и раздаёт конфеты. Вначале он выдал первому ребёнку одну конфету, затем 1 ребёнка пропустил, следующему ребёнку выдал одну конфету, затем 2 детей пропустил, следующему ребёнку выдал одну конфету, затем 3 детей пропустил и так далее.
Раздав 2020 конфет, он ушёл. Сколько детей так и не получили конфеты?
Раздав 2020 конфет, он ушёл. Сколько детей так и не получили конфеты?
Ответ:
Решение:
На доске написаны три последовательных нечётных числа. Может ли сумма остатков от деления этих трёх чисел на 2022 равняться некоторому простому числу?
Ответ:
Решение:
В компьютер ввели число 1. За одну операцию число в компьютере можно либо увеличить на 7, либо поделить на 2, если оно чётное (например, из числа 60 можно получить 30 или 67). При этом запрещается получать числа, большие 400.
Число назовём классным, если его можно получить в результате некоторой последовательности разрешённых операций. Сколько существует классных чисел?
Число назовём классным, если его можно получить в результате некоторой последовательности разрешённых операций. Сколько существует классных чисел?
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число $n$ увлекательным, если в клетках квадратной таблицы $n\times n$ можно расставить числа от 1 до $n^2$ так, чтобы сумма чисел в клетках любого квадратика $2\times 2$ делилась на 4.
1. Приведите пример числа $n$, которое не является увлекательным и удовлетворяет неравенствам $40\leqslant n\leqslant 49$.
2. Найдите количество увлекательных чисел среди чисел $10, 11, \ldots, 49$.
1. Приведите пример числа $n$, которое не является увлекательным и удовлетворяет неравенствам $40\leqslant n\leqslant 49$.
2. Найдите количество увлекательных чисел среди чисел $10, 11, \ldots, 49$.
Ответ:
Решение:
По кругу расставлены 100 натуральных чисел. Каждое из них разделили с остатком на следующее по часовой стрелке. Могло ли получиться 100 одинаковых ненулевых остатков?
Ответ:
Решение: