Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой \[ \begin{cases} 3^{\sqrt x}-3^{2\sqrt y}\geqslant 2\sqrt y-\sqrt x,\\ x^2+y^2\leqslant 9+2xy. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Изобразите на координатной плоскости множество точек $(a,b)$ таких, что система уравнений \[ \begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ x+y=b \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение.
Ответ:
Решение:
Плоская фигура $W$ представляет собой множество всех точек, координаты которых $(x,y)$ удовлетворяют неравенству \[ \bigl(|x|+\bigl|4-|y|\bigr|-4\bigr)^2\leqslant4. \] Нарисуйте фигуру $W$ и найдите её площадь.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ длины сторон равны $4$, $5$ и $\sqrt{17}$. Найдите площадь фигуры, состоящей из тех и только тех точек $X$ внутри треугольника $ABC$, для которых выполняется условие $XA^2+XB^2+XC^2\leqslant 21$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь плоской фигуры, которая на координатной плоскости $Oxy$ задана системой неравенств \[ \begin{cases} x^2+y^2+2(y-x)\leqslant23,\\ y+|x-2|+1\leqslant0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Пусть $M$ — множество точек плоскости с координатами $(x;y)$ таких, что числа $3x$, $2y$ и $9-y$ являются длинами сторон некоторого треугольника. Найти площадь фигуры $M$.
Фигура $\Phi$ состоит из точек множества $M$ таких, что неравенство $t^2+2t(x-2)+7-y\gt 0$ выполняется при всех значениях параметра $t$. Найти площадь фигуры $\Phi$.
Фигура $\Phi$ состоит из точек множества $M$ таких, что неравенство $t^2+2t(x-2)+7-y\gt 0$ выполняется при всех значениях параметра $t$. Найти площадь фигуры $\Phi$.
Ответ:
Решение:
Дана система неравенств \[\begin{cases}|x|+|y|\leqslant 2,\\ x^2+y^2\geqslant 4(x+y-1),\\ (y-3x-2)(3y-x+2)\leqslant 0.\end{cases}\] Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
Ответ:
Решение:
Дана система неравенств \[\begin{cases}x^2+y^2\leqslant 4|x|,\\ |x|+|y|\geqslant 2,\\ x^2-y^2+16-8x\geqslant 0.\end{cases}\] Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:\ а) первому неравенству системы;\ б) первым двум неравенствам системы;\ в) всем трем неравенствам системы.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости фигуру $\Phi$, состоящую из точек $(x,y)$ координатной плоскости таких, что выполнена система неравенств \[ \begin{cases} \sqrt{x^2-3y^2+4x+4}\leqslant 2x+1,\\ x^2+y^2\leqslant 4.\end{cases} \] Определите, из скольких частей состоит фигура $\Phi$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек с координатами $(x;y)$, удовлетворяющими системе \[ \begin{cases} |2x|+|y|+|4-2x-y|\gt 4,\\ x^2-2x-4y+y^2\leqslant0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек с координатами $(x;y)$ удовлетворяющими системе \[ \begin{cases} 2y+3x\geqslant|2y-3x|,\\ y\leqslant-2x+16,\\ x^2-12y+y^2+16\geqslant0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости построена фигура $\Phi$, состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству \[\left|x-\dfrac{15}{2}+\dfrac{y}{6\sqrt3}\right|+\left|x-\dfrac{15}{2}-\dfrac{y}{6\sqrt3}\right|\leqslant 3.\] Фигуру $\Phi$ непрерывно повернули вокруг начала координат на угол $\pi$ против часовой стрелки. Найдите площадь множества $M$, которое замела фигура $\Phi$ при этом повороте.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости изображена фигура $\Phi(\alpha)$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} \left(x-3\sqrt{2}\sin\alpha\right)\left(y-3\sqrt{2}\cos\alpha\right)\leqslant 0,\\ x^2+y^2\leqslant 25. \end{cases} \] Найдите максимальное значение $M$ периметра (длины границы) фигуры $\Phi(\alpha)$ и укажите все значения $\alpha$, при которых оно достигается.
Ответ:
Решение:
Область $D$ на координатной плоскости $k0b$ такова, что для любой точки $(k;b)\in D$ прямая с уравнением $y=kx+b$ имеет с треугольником $ABC$ на координатной плоскости $x0y$ с вершинами $A(-1;2)$, $B(2;1)$, $C(-1;-5)$ хотя бы одну общую точку. Найти площадь пересечения $D$ с полуполосой $k\in[-2;5]$, $b\geqslant 0$. Для каждого $k\in[-2;5]$ найти $b$, при котором прямая не пересекает треугольник.
Ответ:
Решение:
Числа $a$ и $b$ таковы, что $a\in[-4;3]$ и парабола $y=x^2+ax+b$ пересекает отрезок с концами в точках $P(1;2)$ и $Q(-1;4)$. Нарисовать на координатной плоскости область $D$, содержащую все точки $M(a;b)$, и найти ее площадь.
Ответ:
Решение:
На плоскости расположено множество параллелограммов, для которых
- координаты $(x;y)$ их вершин являются решениями системы \[ \begin{cases} \sin(x+y)=\cos(2x-y),\\ \cos(x-y)=\sin(x+2y); \end{cases} \]
- координаты $(x;y)$ граничных точек являются решениями объединения \[ \left[\begin{aligned} &\sin(x+y)=\cos(2x-y),\\ &\cos(x-y)=\sin(x+2y). \end{aligned}\right. \]
Ответ:
Решение:
На плоскости отмечено множество точек $M$, координаты $x$ и $y$ которых связаны соотношением \[ \sin(2x+3y)=\sin2x+\sin3y. \] Круг радиуса $R$, расположенный на той же плоскости, не пересекается с множеством $M$.
Какие значения может принимать радиус такого круга?
Какие значения может принимать радиус такого круга?
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости изобразите множество точек $(a,b)$, для каждой из которой область определения функции \[ f(x)=\log_{\frac{2a-b-x}{2a-b+x}}\left(\dfrac{x-a-b}{x+a+b}\right) \] не содержит ни одной точки из отрезка $[1;2]$.
Ответ:
Решение:
Робот-маляр пытается покрасить стену. Робот представляет из себя конечность из трёх деталей. Штанга $AB$ длиной $l$ перпендикулярна полу и может ездить от точки $a$ до точки $b$ (расстояние между $a$ и $b$ равно $2l$). Вторая часть конечности, штанга $BC$ длиной $2l$, свободно поворачивается относительно шарнира $B$. По штанге $BC$ ползает красящая насадка $K$.
Какую площадь стены сможет покрасить этот механизм?
Какую площадь стены сможет покрасить этот механизм?
Ответ:
Решение:
Изобразите (с обоснованием) на координатной плоскости $Oxy$ множество решений неравенства \[ \bigl(y^2-\arcsin^2(\sin x)\bigr)\left(y^2-\arcsin^2\left(\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right)\right)\left(y^2-\arcsin^2\left(\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)\right)\lt 0. \]
Ответ:
Решение: