В основании призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобокая трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$). Сфера радиуса 3 с центром в плоскости $AA_1D_1D$ касается плоскостей $ABCD$, $A_1B_1C_1D_1$ и прямых $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$. Известно, что $A_1D_1=7$, $BC=5$. Найти:
- угол между прямыми $AD$ и $BB_1$;
- двугранный угол между гранями $BB_1C_1C$ и $CC_1D_1D$;
- объём призмы.
Ответ:
Решение:
Сфера касается боковых граней четырёхугольной пирамиды $SABCD$ в точках, лежащих на рёбрах $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Известно, что высота пирамиды равна $2\sqrt5$, $AB=6$, $SA=5$, $SB=7$, $SC=2\sqrt{10}$. Найти длины рёбер $BC$ и $CD$, радиус сферы и двугранный угол при ребре $SD$.
Ответ:
Решение:
Вписанные окружности граней $SBC$, $SAC$ и $SAB$ треугольной пирамиды $SABC$ пересекаются и имеют радиусы $\sqrt3$, $\sqrt5$ и $\sqrt7$ соответственно. Точка $K$ является точкой касания окружностей со стороной $SA$, причем $SK=5$. Найти длину отрезка $AK$, периметр и радиус вписанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В пирамиде $ABCD$ длина отрезка $BD$ равна $5/2$, точка $E$ — середина $AB$, а $F$ — точка пересечения медиан грани $BCD$, причем $EF=8$. Сфера радиуса 5 касается плоскостей $ABD$ и $BCD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найти двугранный угол между гранями $ABD$ и $BCD$, площадь грани $BCD$ и объем пирамиды $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 1. Найти радиус сферы, касающейся:\ а) ребер $BA$, $BB_1$, $BC$ и плоскости $A_1DC_1$;\ б) ребер $BA$, $BB_1$, $BC$ и прямой $DA_1$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB:BC=2:3$. Точки $F$ и $F_1$ — середины ребер $BC$ и $B_1C_1$ соответственно. Сфера касается всех звеньев ломаной $AFDD_1A_1$ и пересекает отрезок $F_1F$ в точках $F_1$ и $E$. Найти объем параллелепипеда и радиус сферы, если $F_1E=3/2$.
Ответ:
Решение:
Шар радиуса $4/9$ лежит внутри правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ со стороной основания $8$ и высотой $3$. Этот шар касается плоскости основания $ABCD$ пирамиды и боковых граней $SBC$ и $SCD$. Плоскость $\gamma$ касается шара, проходит через точку $B$, середину $K$ ребра $CD$ и пересекает ребро $SC$ в точке $M$. Найдите объем пирамиды $MBCK$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырехугольной пирамиде противоположные боковые грани перпендикулярны. Высота пирамиды равна $h$. Найти радиус шара, касающегося ребер основания и боковых ребер пирамиды или их продолжений.
Ответ:
Решение:
а) Сфера с центром $O$ касается боковых рёбер $SA$, $SB$, $SC$ пирамиды $SABC$ в точках $K$, $L$, $M$ соответственно, а также касается её основания $ABC$. Через точку сферы, ближайшую к точке $S$, проведена плоскость, касающаяся сферы. Площадь сечения пирамиды $SABC$ этой плоскостью равна 5, $\angle KSO=\arccos\frac{\sqrt{21}}{5}$. Найдите площадь треугольника $KLM$.
б) Пусть дополнительно известно, что $SO=36$, а плоскости $KLM$ и $ABC$ параллельны. Найдите объём пирамиды $SABC$.
б) Пусть дополнительно известно, что $SO=36$, а плоскости $KLM$ и $ABC$ параллельны. Найдите объём пирамиды $SABC$.
Ответ:
Решение:
На ребре $BC$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выбрана точка $M$. Сфера, построенная на отрезке $C_1M$ как на диаметре, касается плоскостей четырёх граней параллелепипеда, причём одной из них в точке, лежащей на ребре $B_1B$. Известно, что $BM=1$, $CM=8$. Найдите длину ребра $AA_1$, радиус сферы и объём параллелепипеда.
Ответ:
Решение:
Ребро $A_1A$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ перпендикулярно его грани $ABCD$. Сфера $\Omega$ касается рёбер $BB_1$, $B_1C_1$, $C_1C$, $CB$, $CD$, и при этом касается ребра $CD$ в такой точке $K$, что $CK=4$, $KD=1$.
а) Найдите длину ребра $A_1A$.
б) Пусть дополнительно известно, что сфера $\Omega$ касается ребра $A_1D_1$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и радиус сферы $\Omega$.
а) Найдите длину ребра $A_1A$.
б) Пусть дополнительно известно, что сфера $\Omega$ касается ребра $A_1D_1$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и радиус сферы $\Omega$.
Ответ:
Решение:
Высота правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $12$. Сфера $\Omega$ радиуса $\sqrt{35/3}$ касается всех боковых граней призмы. На отрезках $AA_1$ и $BB_1$ выбраны соответственно точки $K$ и $L$ такие, что $KL\parallel AB$, а плоскости $KBC$ и $LA_1C_1$ касаются сферы $\Omega$. Найдите объём призмы и длину отрезка $AK$.
Ответ:
Решение:
Дана пирамида $ABCD$ и сфера радиуса $\sqrt{3}$. Ребро $AC$ пирамиды является диаметром сферы; прямые, содержащие три других ребра, касаются сферы, а середины двух оставшихся рёбер лежат на сфере. Найдите угол $ABC$, длину ребра $BD$ и объём пирамиды $ABCD$.
Ответ:
Решение:
В основании треугольной пирамиды $SABC$ лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $BC=2\sqrt{3}$. Сфера $\omega$ касается плоскости основания пирамиды и касается всех трёх её боковых рёбер в их серединах. Пусть $\Omega$ — сфера, описанная около пирамиды $SABC$.
а) Найдите расстояние между центрами сфер $\omega$ и $\Omega$.
б) Найдите отношение радиусов сфер $\omega$ и $\Omega$.
в) Пусть дополнительно известно, что $\angle SAB=\arccos\dfrac14$. Найдите объём пирамиды $SABC$.
а) Найдите расстояние между центрами сфер $\omega$ и $\Omega$.
б) Найдите отношение радиусов сфер $\omega$ и $\Omega$.
в) Пусть дополнительно известно, что $\angle SAB=\arccos\dfrac14$. Найдите объём пирамиды $SABC$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $ABC$ равна $1$, боковое ребро равно $2$. Сфера с центром $O$ на плоскости $CDS$ касается рёбер $SA$, $SB$ и $AB$. Найдите расстояния от центра сферы до плоскостей $ABC$ и $ADS$, а также радиус сферы.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $ABC$ равна $1$, боковое ребро равно $2$. Сфера с центром $O$ на прямой $SA$ касается рёбер $SB$, $SC$ и $BC$. Найдите расстояния от центра сферы до плоскостей $BSC$ и $ABC$, а также радиус сферы.
Ответ:
Решение:
Основанием треугольной пирамиды $SABC$ является правильный треугольник $ABC$ со стороной $5$. Боковое ребро $SC$ перпендикулярно основанию и имеет длину $15$. Сфера, центр $O$ которой лежит в плоскости $SBC$, касается рёбер $SA$, $AB$ и $AC$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Найдите $AA_1$, расстояние от точки $O$ до ребра $BC$ и радиус сферы.
Ответ:
Решение:
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит трапеция $ABCD$, в которой $AB=BC=CD=2$, $AD=4$. Точки $K$, $L$, $M$ лежат на отрезках $A_1B$, $B_1C$, $C_1D$ соответственно так, что \[ \dfrac{A_1K}{KB}=\dfrac{B_1L}{LC}=\dfrac{C_1M}{MD}=7. \] Сфера радиуса $R=2$ касается прямых $A_1B$, $B_1C$, $C_1D$ в точках $K$, $L$, $M$ соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KLM$, расстояние от центра сферы до плоскости $KLM$ и объём призмы.
Ответ:
Решение:
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит трапеция $ABCD$, в которой $AB=BC=CD=2$, $AD=4$. Точки $K$, $L$, $M$ лежат на отрезках $A_1B$, $B_1C$, $C_1D$ соответственно так, что \[ \dfrac{A_1K}{KB}=\dfrac{B_1L}{LC}=\dfrac{C_1M}{MD}=3. \] Сфера радиуса $R=2$ касается прямых $A_1B$, $B_1C$, $C_1D$ в точках $K$, $L$, $M$ соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KLM$, расстояние от центра сферы до плоскости $KLM$ и объём призмы.
Ответ:
Решение:
Сфера с центром $O$ вписана в трёхгранный угол с вершиной $S$ и касается его граней в точках $K$, $L$, $M$ (все плоские углы трёхгранного угла различны). Найдите угол $KSO$ и площадь сечения данного трёхгранного угла плоскостью $KLM$, если известно, что площади сечений трёхгранного угла плоскостями, касающимися сферы и перпендикулярными прямой $SO$, равны 1 и 4.
Ответ:
Решение: