В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Точки $P$ и $Q$ — центры вписанных окружностей треугольников $ABM$ и $CBM$ соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников $ABP$ и $CBQ$ лежит на отрезке $BM$.
Ответ:
Решение:
Дан неравнобедренный треугольник $ABC$, в котором $\angle B=135^\circ$. Пусть $M$ — середина отрезка $AC$. Точка $O$ — центр окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$. Луч $BM$ вторично пересекает окружность $\Omega$ в точке $D$. Докажите, что центр окружности $\Gamma$, описанной около треугольника $BOD$, лежит на прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены медиана $AM$ и высота $BH$. Перпендикуляр, восстановленный в точке $M$ к прямой $AM$, пересекает луч $HB$ в точке $K$. Докажите, что если $\angle MAC=30^\circ$, то $AK=BC$.
Ответ:
Решение:
Дан остроугольный треугольник $ABC$. Окружности с центрами $A$ и $C$ проходят через точку $B$, вторично пересекаются в точке $F$ и пересекают описанную около треугольника $ABC$ окружность $\omega$ в точках $D$ и $E$. Отрезок $BF$ пересекает окружность $\omega$ в точке $O$. Докажите, что $O$ — центр описанной окружности треугольника $DEF$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Пусть $BK$ — биссектриса этого треугольника. Окружность, описанная около треугольника $AKB$, пересекает вторично сторону $BC$ в точке $L$. Докажите, что $CB+CL=AB$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике провели высоту $BH$. На дуге $AC$ описанной окружности треугольника $ABC$, не содержащей точку $B$, отметили точку $X$ такую, что $BX=BC$. Прямая, проходящая через $X$ параллельно $AB$, пересекает отрезки $AC$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$. Найдите длину отрезка $PQ$, если $AB=7$, $AC=10$, $AH=3$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоты $BB_1$ и $CC_1$. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Прямая $C_1M$ повторно пересекает описанную окружность треугольника $BCC_1$ в точке $X$. Точка $O$ является центром описанной окружности треугольника $B_1MX$. Найдите $ON$, если $AB=10$, $B_1M=3$, $\angle A=60^\circ$.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BD$. На отрезке $BD$ выбрали точку $K$ так, что $AD\parallel KC$. Описанная окружность треугольника $KDC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$. Известно, что $\angle ABD=48^\circ$ и $\angle CBD=13^\circ$. Сколько градусов составляет угол $BAL$?
Ответ:
Решение:
На окружности $\omega$ по разные стороны от диаметра $AC$ расположены точки $B$ и $D$. Известно, что $AB=3\sqrt{6}$, $CD=3$, а площадь треугольника $ABC$ в три раза больше площади треугольника $BCD$. Найдите радиус окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ сторона $BC$ вдвое меньше, чем $AD$. Диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$, а диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$. Найдите больший острый угол этого четырёхугольника, если меньший равен $36^\circ$.
Ответ:
Решение:
Прямоугольник $ABCD$ таков, что $AD=2AB$. Точка $M$ — середина стороны $AD$. Внутри прямоугольника нашлась точка $K$ такая, что $\angle AMK=80^\circ$ и луч $KD$ является биссектрисой угла $MKC$. Сколько градусов составляет угол $KDA$?
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB=42$ и $BC=56$. Окружность, проходящая через точку $B$, пересекает сторону $AB$ в точке $P$, сторону $BC$ — в точке $Q$, а сторону $AC$ — в точках $K$ и $L$. Известно, что $PK=KQ$ и $QL:PL=3:4$. Найдите $PQ^2$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ и $CE$. Точки $M$ и $N$ — основания перпендикуляров, опущенных на прямую $DE$ из точек $A$ и $C$ соответственно. Докажите, что $ME=DN$.
Ответ:
Решение:
Из вершины тупого угла $A$ треугольника $ABC$ опущена высота $AD$. Проведена окружность с центром $D$ и радиусом $DA$, которая вторично пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $AC$, если $AB=c$, $AM=m$ и $AN=n$.
Ответ:
Решение:
Дан равнобедренный треугольник $ABC$, $AB=BC$. В окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$, проведён диаметр $CC'$. Прямая, проходящая через точку $C'$ параллельно $BC$, пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $P$ соответственно. Докажите, что $M$ — середина отрезка $C'P$.
Ответ:
Решение:
Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Оказалось, что касательная в точке $D$ к описанной окружности параллельна биссектрисе угла $ABC$, и при этом $\angle ABD=10^\circ$ и $\angle DBC=92^\circ$. Найдите $\angle BCA$. Ответ выразите в градусах.
Ответ:
Решение:
Три окружности радиусами 3, 5, 7 расположены так, что общая хорда пересечения любых двух окружностей является диаметром меньшей из них.
1. Найдите квадраты длин сторон треугольника, образованного центрами этих окружностей.
2. Найдите квадрат площади треугольника, образованного центрами этих окружностей.
1. Найдите квадраты длин сторон треугольника, образованного центрами этих окружностей.
2. Найдите квадрат площади треугольника, образованного центрами этих окружностей.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\Omega$. Точка $M$ — середина дуги $AD$ окружности $\Omega$, не содержащей точек $B$ и $C$. Отрезки $BM$ и $CM$ пересекают отрезок $AD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.
Известно, что $AP:PQ:QD=1:3:2$. Вычислите значение выражения: \[\frac{AC\cdot BD}{AB\cdot CD}.\]
Известно, что $AP:PQ:QD=1:3:2$. Вычислите значение выражения: \[\frac{AC\cdot BD}{AB\cdot CD}.\]
Ответ:
Решение:
Стороны $AD$ и $DC$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ равны. На стороне $BC$ отмечена точка $X$ так, что $AB=BX$. Известно, что $\angle B=34^\circ$, $\angle XDC=52^\circ$.
1. Сколько градусов составляет угол $AXC$?
2. Сколько градусов составляет угол $ACB$?
1. Сколько градусов составляет угол $AXC$?
2. Сколько градусов составляет угол $ACB$?
Ответ:
Решение:
Выпуклый пятиугольник $ABCDE$ таков, что $\angle ABC=128^\circ$, $\angle CDE=90^\circ$, $\angle AED=104^\circ$, $AB=BC$, $AE=ED$. Сколько градусов составляет угол $ADB$?
Ответ:
Решение: