Назовём натуральное число почти квадратом, если оно равно произведению двух последовательных натуральных чисел. Докажите, что каждый почти квадрат можно представить в виде частного двух почти квадратов.
Ответ:
Решение:
На доске написаны четыре числа, ни одно из которых не равно 0. Если каждое из них умножить на сумму трёх остальных, получатся четыре одинаковых результата. Докажите, что квадраты записанных на доске чисел равны.
Ответ:
Решение:
Целые числа $a$, $b$, $c$ и натуральное число $n$ таковы, что $a+b+c=1$ и $a^2+b^2+c^2=2n+1$. Докажите, что $a^3+b^2-a^2-b^3$ делится на $n$.
Ответ:
Решение:
Даны два числа (не обязательно целые), не равные 0. Если каждое из них увеличить на единицу, их произведение увеличится вдвое. А во сколько раз увеличится их произведение, если каждое из исходных чисел возвести в квадрат и затем уменьшить на единицу?
Ответ:
Решение:
Учитель написал на доске 10 отрицательных целых чисел. Вася переписал в тетрадь эти числа, затем записал туда же всевозможные их попарные произведения, всевозможные произведения трёх, четырёх, $\ldots$, девяти из этих чисел и, наконец, произведение всех десяти чисел. Оказалось, что сумма всех записанных Васей чисел отрицательна. Чему она могла быть равна?
Ответ:
Решение:
Петя и Вася знают лишь натуральные числа, не превосходящие $10^9-4000$. Петя считает хорошими числа, представимые в виде $abc+ab+ac+bc$, где $a$, $b$ и $c$ — натуральные числа, не меньшие 100. Вася считает хорошими числа, представимые в виде $xyz-x-y-z$, где $x$, $y$ и $z$ — натуральные числа, б\'{о}льшие 100. Для кого из них хороших чисел больше?
Ответ:
Решение:
Маша взяла четыре различных положительных числа и записала шесть их попарных произведений в ряд в порядке возрастания. Могли ли все пять разностей между соседними числами этого ряда оказаться одинаковыми?
Ответ:
Решение:
По кругу расставлены 2025 ненулевых чисел. Может ли для любых пяти подряд идущих чисел $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ быть выполнено равенство $ab+de=bd$?
Ответ:
Решение:
Разность квадратов двух чисел равна 6, а если уменьшить каждое из этих чисел на 2, то разность их квадратов станет равна 18. Чему равна сумма этих чисел?
Ответ:
Решение:
Найдите любое натуральное $x$ такое, что значение выражения $2^x+2^8+2^{11}$ является квадратом натурального числа.
Ответ:
Решение:
Про положительные числа $a$ и $b$ известно, что \[ a^2+ab=36 \quad\text{и}\quad b^2+ab=64. \] Найдите значение $a+b$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Три числа таковы, что куб суммы любых двух из них равен сумме их кубов. Докажите, что среди этих чисел есть нуль.
Ответ:
Решение:
Существует ли такое натуральное число $n$, большее 1, что значение выражения $\sqrt{n\sqrt{n\sqrt{n}}}$ является натуральным числом?
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем натуральном $x$ выражение \[\sqrt{29+\sqrt{x}}+\sqrt{29-\sqrt{x}}\] является целым?
Ответ:
Решение:
Не используя калькулятора, определите знак числа \[(\cos(\cos 1)-\cos 1)\,(\sin(\sin 1)-\sin 1).\]
Ответ:
Решение:
На доске написано число ноль. Петру разрешается совершать следующие операции:
- применить к одному из написанных на доске чисел тригонометрическую ($\sin$, $\cos$, $\operatorname{tg}$ или $\operatorname{ctg}$) или обратную тригонометрическую ($\arcsin$, $\arccos$, $\operatorname{arctg}$ или $\operatorname{arcctg}$) функцию и написать результат на доске;
- написать на доске частное или произведение двух уже написанных чисел.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Известно, что $\angle C=57^\circ$, $\sin\angle A+\sin\angle B=\sqrt{2}$ и $\cos\angle A+\cos\angle B=2-\sqrt{2}$. Сколько градусов составляет угол $D$?
Ответ:
Решение:
Известно, что для некоторых $x$ и $y$ суммы $\sin x+\cos y$ и $\sin y+\cos x$ — положительные рациональные числа. Докажите, что найдутся такие натуральные числа $m$ и $n$, что $m\sin x+n\cos x$ — натуральное число.
Ответ:
Решение:
Число $x$ таково, что обе суммы $S=\sin64x+\sin65x$ и $C=\cos64x+\cos65x$ — рациональные числа. Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.
Ответ:
Решение: