У Саши было 47 палочек. Использовав их все, он сложил несколько букв «Б» и «В», изображённых на рисунке. Какое наибольшее количество букв «Б» могло получиться у Саши?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $k$, большее 1. Натуральное число $n$, большее 1 и взаимно простое с $k$, назовём правильным, если для любого натурального делителя $d$ ($d\lt n$) числа $n$ число $d+k$ не взаимно просто с $n$. Докажите, что правильных чисел — конечное количество.
Ответ:
Решение:
Докажите, что существует натуральное число $n$, большее $10^{100}$, такое, что сумма всех простых чисел, меньших $n$, взаимно проста с $n$.
Ответ:
Решение:
Дано нечётное натуральное число $a$, большее 100. На доску выписали все натуральные числа вида $(a-n^2)/4$, где $n$ — натуральное число. Оказалось, что при $n\leqslant\sqrt{a/5}$ все они простые. Докажите, что и каждое из остальных выписанных на доску натуральных чисел простое или равно единице.
Ответ:
Решение:
Натуральное число называется совершенным, если оно вдвое меньше суммы всех своих натуральных делителей: например, совершенным является число 6, так как $2\cdot6=1+2+3+6$. Может ли сумма всех попарных произведений натуральных делителей совершенного числа $n$ делиться на $n^2$?
Ответ:
Решение:
Найдите все тройки (не обязательно различных) натуральных чисел $a, b, c$ такие, что каждое из чисел \[ a+bc,\quad b+ca,\quad c+ab \] является простым делителем числа $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что найдётся такое натуральное число $n\gt 10^{2018}$, что сумма всех простых чисел, меньших $n$, взаимно проста с $n$.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$. Докажите, что при некотором натуральном $m$ у числа $m^3+m$ ровно один или ровно два различных простых делителя, больших $n$.
Ответ:
Решение:
Назовем два числа почти равными друг другу, если они равны друг другу или отличаются друг от друга не более, чем на единицу. Клетчатый прямоугольник со сторонами, равными натуральным числам $a$ и $b$, таков, что из него нельзя по линиям сетки вырезать прямоугольник, площадь которого почти равна половине площади исходного прямоугольника. Какое наименьшее значение может принимать число $|a-b|$?
Ответ:
Решение:
Пусть $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_{100}$ — сто простых чисел, среди которых нет одинаковых. Натуральные числа $a_1$, $\ldots$, $a_k$, большие 1, таковы, что каждое из чисел $p_1p_2^3$, $p_2p_3^3$, $\ldots$, $p_{99}p_{100}^3$, $p_{100}p_1^3$ равно произведению каких-то двух из чисел $a_1$, $\ldots$, $a_k$. Докажите, что $k\geqslant150$.
Ответ:
Решение:
Делители натурального числа $n$ (включая $n$ и 1), имеющего больше трёх делителей, выписали по возрастанию:\[1=d_1\lt d_2\lt \ldots\lt d_k=n.\]Разности\[u_1=d_2-d_1,\quad u_2=d_3-d_2,\quad\ldots,\quad u_{k-1}=d_k-d_{k-1}\]оказались такими, что\[u_2-u_1=u_3-u_2=\ldots=u_{k-1}-u_{k-2}.\]Найдите все такие $n$.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$, большее 2. Докажите, что если число $n!+n^3+1$ — простое, то число $n^2+2$ представляется в виде суммы двух простых чисел.
Ответ:
Решение:
Известно, что и сумма и произведение двух натуральных чисел $a$ и $b$ — квадраты натуральных чисел. Докажите, что число $|16a-9b|$ — не простое.
Ответ:
Решение:
Назовём главными делителями составного числа $n$ два наибольших его натуральных делителя, отличных от $n$. Составные натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что главные делители числа $a$ совпадают с главными делителями числа $b$. Докажите, что $a=b$.
Ответ:
Решение:
Рассмотрим такие натуральные числа $a$, $b$ и $c$, что дробь \[ k=\dfrac{ab+c^2}{a+b} \] является натуральным числом, меньшим $a$ и $b$. Какое наименьшее количество натуральных делителей может быть у числа $a+b$?
Ответ:
Решение:
В детском саду воспитательница взяла $n\gt 1$ одинаковых картонных прямоугольников и раздала их $n$ детям, каждому по прямоугольнику. Каждый ребёнок разрезал свой прямоугольник на несколько одинаковых квадратиков (квадратики у разных детей могли быть разными). Оказалось, что общее количество квадратиков — простое число. Докажите, что исходные прямоугольники были квадратами.
Ответ:
Решение:
Пусть $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ — бесконечная возрастающая последовательность натуральных чисел, а $p_1$, $p_2$, $p_3$, $\ldots$ — последовательность простых чисел такая, что при каждом натуральном $n$ число $a_n$ делится на $p_n$. Оказалось, что при всех натуральных $n$ и $k$ верно равенство $a_n-a_k=p_n-p_k$. Докажите, что все числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$ простые.
Ответ:
Решение:
Изначально на доске записаны несколько натуральных чисел (больше одного). Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число $1^2+2^2+2^2$). Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей.
Ответ:
Решение:
На доску выписали все собственные делители некоторого составного натурального числа $n$, увеличенные на 1. Найдите все такие числа $n$, для которых числа на доске окажутся всеми собственными делителями некоторого натурального числа $m$. (Собственными делителями натурального числа $a\gt 1$ называются все его натуральные делители, отличные от $a$ и от 1.)
Ответ:
Решение:
Даны натуральные числа $a$ и $b$ ($a\gt 1$), причём $b$ делится на $a^2$. Кроме того, любой делитель числа $b$, меньший, чем $\sqrt{a}$, является также делителем числа $a$. Докажите, что у числа $a$ не более трех различных простых делителей.
Ответ:
Решение: