13980
Квадрат $6\times6$ разрезали на четырёхклеточные и пятиклеточные фигуры, равные показанным на рисунке (обе фигуры участвуют в разрезании). Сколько каких фигур было использовано?
две клетчатые фигуры. Четырёхклеточная — «уголок»: вертикальный столбик из трёх клеток, к верхней клетке которого справа приставлена ещё одна клетка. Пятиклеточная — «лесенка»: в верхнем ряду две клетки (столбцы 1 и 2), во втором ряду две клетки (столбцы 2 и 3), в третьем ряду одна клетка…две клетчатые фигуры. Четырёхклеточная — «уголок»: вертикальный столбик из трёх клеток, к верхней клетке которого справа приставлена ещё одна клетка. Пятиклеточная — «лесенка»: в верхнем ряду две клетки (столбцы 1 и 2), во втором ряду две клетки (столбцы 2 и 3), в третьем ряду одна клетка…
Ответ:
Решение:
13981
В центральной клетке доски $21\times21$ находится фишка. За один ход можно передвинуть фишку в соседнюю по стороне клетку. Алина сделала 10 ходов. Сколько существует клеток, где может оказаться фишка?
Ответ:
Решение:
13982
Мышонок Джерри решил подарить коту Тому на День Рождения пирог в виде квадрата $8\times 8$. В три куска, отмеченные буквой «Р», он положил рыбу, в два куска, отмеченные буквой «К», положил колбасу, а ещё в один кусок добавил и то, и другое, но такой кусок не отметил (все остальные куски — без начинки). Также Джерри сообщил Тому, что в любом квадрате $6\times 6$ есть хотя бы 2 куска с рыбой, а в любом квадрате $3\times 3$ — не более одного куска с колбасой.
Какое наименьшее количество кусков пирога надо съесть Тому, чтобы среди них гарантированно оказался кусок с рыбой и колбасой?
квадрат 8× 8 из клеток-кусков. Строки нумеруются сверху вниз, столбцы — слева направо; буква «Р» стоит в клетках (строка 2, столбец 2), (строка 6, столбец 5), (строка 8, столбец 2); буква «К» — в клетках (строка 3, столбец 2), (строка 6, столбец 6). Остальные клетки пустые.квадрат 8× 8 из клеток-кусков. Строки нумеруются сверху вниз, столбцы — слева направо; буква «Р» стоит в клетках (строка 2, столбец 2), (строка 6, столбец 5), (строка 8, столбец 2); буква «К» — в клетках (строка 3, столбец 2), (строка 6, столбец 6). Остальные клетки пустые.
Ответ:
Решение:
13983
На рисунке изображена фигура, состоящая из 17 клеток. Сколько существует способов разрезать её на 8 прямоугольников $1\times2$ и один квадратик $1\times1$?
клетчатая фигура из 17 клеток. Если пронумеровать ряды сверху вниз от 1 до 6, а столбцы слева направо от 1 до 5, то фигуре принадлежат клетки: ряд 1 — столбец 3; ряд 2 — столбцы 2, 3, 4; ряд 3 — столбцы 1, 2, 4, 5; ряд 4 — столбцы 1 и 5; ряд 5 — столбцы 1, 2, 4, 5; ряд 6 — столбцы 2, 3, 4. Иначе…клетчатая фигура из 17 клеток. Если пронумеровать ряды сверху вниз от 1 до 6, а столбцы слева направо от 1 до 5, то фигуре принадлежат клетки: ряд 1 — столбец 3; ряд 2 — столбцы 2, 3, 4; ряд 3 — столбцы 1, 2, 4, 5; ряд 4 — столбцы 1 и 5; ряд 5 — столбцы 1, 2, 4, 5; ряд 6 — столбцы 2, 3, 4. Иначе…
Ответ:
Решение:
13984
Фигуру, изображённую на рисунке, разрезали на одноклеточные квадраты и прямоугольники $1\times2$. Какое наибольшее количество прямоугольников $1\times2$ при этом могло получиться?
клетчатая фигура из 15 клеток в виде «лесенки» из шести горизонтальных рядов, каждый следующий (снизу вверх) сдвинут на одну клетку вправо. Если пронумеровать столбцы слева направо от 1 до 6, то снизу вверх: 1-й ряд — клетки в столбцах 1–3, 2-й ряд — в столбцах 2–4, 3-й ряд — в столбцах 3–5, 4-й…клетчатая фигура из 15 клеток в виде «лесенки» из шести горизонтальных рядов, каждый следующий (снизу вверх) сдвинут на одну клетку вправо. Если пронумеровать столбцы слева направо от 1 до 6, то снизу вверх: 1-й ряд — клетки в столбцах 1–3, 2-й ряд — в столбцах 2–4, 3-й ряд — в столбцах 3–5, 4-й…
Ответ:
Решение:
13985
Новая шахматная фигура слонопотам за один ход может перемещаться либо на любое число клеток по диагонали, либо на одну клетку по горизонтали или по вертикали.
Слонопотам стоит в левой нижней клетке доски $8\times 8$. Назовём клетку доски достижимой, если слонопотам может в неё попасть ровно за 2 хода. Сколько существует достижимых клеток?
шахматная доска 8× 8 с обычной чередующейся раскраской клеток; в левой нижней (белой) клетке стоит буква С — начальное положение слонопотама.шахматная доска 8× 8 с обычной чередующейся раскраской клеток; в левой нижней (белой) клетке стоит буква С — начальное положение слонопотама.
Ответ:
Решение:
13986
Каждая клетка таблицы $11\times11$ покрашена в один из трёх цветов: красный, синий или зелёный. Известно, что одноцветные клетки не граничат по стороне, а также что красные и синие клетки не граничат по стороне. Сколько зелёных клеток может быть в таблице? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
13987
У Вани есть 234 монеты и доска $7\times 7$. Он разложил все монеты в клетки доски так, что в любых четырёх клетках, образующих прямоугольник $1\times 4$ или $4\times 1$, суммарно оказалось ровно 19 монет (в каких-то клетках могло оказаться несколько монет, а какие-то клетки могли оказаться пустыми).
Сколько всего монет может находиться в четвёртом столбце? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
13988
Квадрат $7\times 7$, показанный на рисунке, разрезан без остатка по линиям клеток на фигурки вида «уголок» из пяти клеток и «полоска» из трёх клеток (см. рисунок). Найдите максимально возможное количество пятиклеточных фигурок, содержащих звездочки (одну или больше). Фигурки можно поворачивать и переворачивать.
квадрат 7× 7, звёздочки стоят в 9 клетках — на пересечениях 1-й, 4-й и 7-й строк с 1-м, 4-м и 7-м столбцами (в четырёх углах, в серединах сторон и в центре). Фигурки: пятиклеточный уголок — полоска из четырёх клеток и ещё одна клетка над её крайней клеткой; трёхклеточная полоска 1× 3.квадрат 7× 7, звёздочки стоят в 9 клетках — на пересечениях 1-й, 4-й и 7-й строк с 1-м, 4-м и 7-м столбцами (в четырёх углах, в серединах сторон и в центре). Фигурки: пятиклеточный уголок — полоска из четырёх клеток и ещё одна клетка над её крайней клеткой; трёхклеточная полоска 1× 3.
квадрат 7× 7, звёздочки стоят в 9 клетках — на пересечениях 1-й, 4-й и 7-й строк с 1-м, 4-м и 7-м столбцами (в четырёх углах, в серединах сторон и в центре). Фигурки: пятиклеточный уголок — полоска из четырёх клеток и ещё одна клетка над её крайней клеткой; трёхклеточная полоска 1× 3.квадрат 7× 7, звёздочки стоят в 9 клетках — на пересечениях 1-й, 4-й и 7-й строк с 1-м, 4-м и 7-м столбцами (в четырёх углах, в серединах сторон и в центре). Фигурки: пятиклеточный уголок — полоска из четырёх клеток и ещё одна клетка над её крайней клеткой; трёхклеточная полоска 1× 3.
квадрат 7× 7, звёздочки стоят в 9 клетках — на пересечениях 1-й, 4-й и 7-й строк с 1-м, 4-м и 7-м столбцами (в четырёх углах, в серединах сторон и в центре). Фигурки: пятиклеточный уголок — полоска из четырёх клеток и ещё одна клетка над её крайней клеткой; трёхклеточная полоска 1× 3.квадрат 7× 7, звёздочки стоят в 9 клетках — на пересечениях 1-й, 4-й и 7-й строк с 1-м, 4-м и 7-м столбцами (в четырёх углах, в серединах сторон и в центре). Фигурки: пятиклеточный уголок — полоска из четырёх клеток и ещё одна клетка над её крайней клеткой; трёхклеточная полоска 1× 3.
Ответ:
Решение:
13989
Из клетчатого квадрата $8\times8$ вырезали часть угловых клеток, а оставшуюся фигуру разбили на квадраты со сторонами 1 и 2 так, чтобы квадратов каждого типа получилось поровну. Сколько клеток могло быть вырезано?
Ответ:
Решение:
13990
Таблицу $5\times5$ разбили на 7 связных частей по линиям сетки. В каждой части в одной из клеток написали количество клеток в этой части. Отметьте клетки части, которая содержит центральную клетку.
25
63
522
Ответ:
Решение:
13991
Каждую клетку доски $7\times7$ закрасили в один из девяти цветов. Известно, что у каждой клетки, не примыкающей к краю доски, есть соседи (по горизонтали, вертикали или диагонали) всех восьми цветов, не совпадающих с цветом этой клетки. Докажите, что клеток каждого из девяти цветов не меньше четырех.
Ответ:
Решение:
13992
Придумайте, как разрезать контур квадрата со стороной 1 на четыре части и сложить из этих частей контур треугольника. Найдите площадь получившегося у вас треугольника. (Толщины контур не имеет. Сгибать и разгибать части нельзя.)
Ответ:
Решение:
13993
Найдите наибольшее количество белых доминошек, которое можно вырезать из доски, изображённой на рисунке. Доминошка — это прямоугольник $1\times2$.
доска 7×7; 9 клеток, стоящих на пересечении 2-й, 4-й и 6-й строк со 2-м, 4-м и 6-м столбцами, — серые, остальные 40 клеток — белые.доска 7×7; 9 клеток, стоящих на пересечении 2-й, 4-й и 6-й строк со 2-м, 4-м и 6-м столбцами, — серые, остальные 40 клеток — белые.
Ответ:
Решение:
13994
У Олега есть набор из 2024 различных клетчатых прямоугольников размеров $1\times1$, $1\times2$, $1\times3$, …, $1\times2024$ (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1?
Ответ:
Решение:
13995
У Коли есть 100 монет и доска $m\times n$, где $m\geqslant n$ и $m\gt 1$. Он разложил все монеты в клетки доски так, что в любых двух соседних по стороне клетках суммарно оказалось ровно 10 монет (в каких-то клетках могло оказаться несколько монет, а какие-то клетки могли оказаться пустыми). Какие значения может принимать $m$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
13996
Из шахматной доски размером $8\times8$ вырезали квадрат размером $2\times2$ так, что оставшуюся доску удалось разрезать на прямоугольники размером $1\times3$. Определите, какой квадрат могли вырезать. (Укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.)
Ответ:
Решение:
13997
Клетчатую доску размером $7\times7$ склеили, используя фигурки трех видов (см. рисунок), не обязательно все. Сколько могло быть использовано фигурок, составленных из четырех клеток?
три фигурки из клеток: 1) уголок из трёх клеток (две клетки в нижнем ряду и одна клетка над правой из них); 2) квадрат 2×2 из четырёх клеток; 3) «зигзаг» из четырёх клеток (две клетки в нижнем ряду и две клетки в верхнем ряду, сдвинутые на одну клетку вправо)три фигурки из клеток: 1) уголок из трёх клеток (две клетки в нижнем ряду и одна клетка над правой из них); 2) квадрат 2×2 из четырёх клеток; 3) «зигзаг» из четырёх клеток (две клетки в нижнем ряду и две клетки в верхнем ряду, сдвинутые на одну клетку вправо)
Ответ:
Решение:
13998
Клетчатый прямоугольник площади $S$ таков, что:
  • его целиком можно разрезать по линиям сетки на прямоугольники $1\times13$;
  • его целиком можно разрезать по линиям сетки на трёхклеточные уголки (примеры уголков изображены на рисунке ниже);
  • не существует клетчатого прямоугольника меньшей площади, удовлетворяющего двум предыдущим условиям.
1. Найдите $S$.
2. Чему может быть равен периметр этого прямоугольника? Укажите все возможные варианты.
четыре трёхклеточных уголка — квадрат 2×2 без одной клетки, в четырёх положениях: без правой нижней клетки, без правой верхней, без левой верхней и без левой нижней.четыре трёхклеточных уголка — квадрат 2×2 без одной клетки, в четырёх положениях: без правой нижней клетки, без правой верхней, без левой верхней и без левой нижней.
Ответ:
Решение:
13999
На доске нарисована пустая таблица $3\times51$. Маша хочет заполнить её клетки числами, руководствуясь следующими правилами:
  • каждое из чисел 1, 2, 3, $\ldots$, 153 должно присутствовать в таблице;
  • в левой нижней клетке таблицы должно стоять число 1;
  • для любого натурального $a\leqslant152$ числа $a$ и $a+1$ должны стоять в соседних по стороне клетках.
1. Какое наибольшее число может стоять в клетке, соседней по стороне с числом 1?
2. Назовём клетку таблицы хорошей, если в ней может оказаться число 153. Сколько всего хороших клеток?
Ответ:
Решение:

© Моисеев Д. В., 2015-2026 г. Самозанятый (налог на профессиональный доход), ИНН 771586487450