В треугольнике $ABC$ с углом $A$, равным $60^\circ$, проведена биссектриса $AD$. Радиус описанной около треугольника $ADC$ окружности с центром в точке $O$ равен $2\sqrt3/3$. Найдите длину отрезка $BM$, где $M$ — точка пересечения отрезков $AD$ и $BO$, если $AB=1$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ $\angle B=75^\circ$, длина $AC=2$ см, $H$ — точка пересечения его высот. Площадь треугольника $AHC$ равна $\sqrt{12}-3$ см$^2$. Найти площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. На сторонах $AC$ и $AB$ взяли точки $K$ и $L$ соответственно так, что прямая $IK$ перпендикулярна $CI$, а $KL$ параллельна $BI$. Докажите, что треугольник $LKI$ — равнобедренный.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $BH$ и $CH$. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров, опущенных из точек $M$ и $N$ на прямые $AB$ и $AC$ соответственно, равноудалена от точек $B$ и $C$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BB_1$ и $CC_1$. Известно, что центр описанной окружности треугольника $BB_1C_1$ лежит на прямой $AC$. Найдите угол $C$ треугольника.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) медиана $AM$ пересекает биссектрису $BN$ в точке $K$. Известно, что $BK=3$, $KN=2$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ сторона $AC=42$. Биссектриса $CL$ делится точкой пересечения биссектрис треугольника в отношении $2:1$, считая от вершины. Найдите длину стороны $AB$, если радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен $14$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $PVG$ обозначили точку пересечения высот через $H$, центр описанной окружности через $O$. Площади треугольников $OHP$ и $OHV$ равны $5$ и $3$ соответственно. Найдите площадь треугольника $OHG$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB=\sqrt{13}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $2\cdot AO=7\cdot OA_1$, $BO=2\cdot OB_1$. Найдите отношение высоты, опущенной из точки $A$, к радиусу вписанной в треугольник $ABC$ окружности.
Ответ:
Решение:
Высоты $AK$ и $CL$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Найдите величину угла $BAC$, если $AH=HK$ и $CH=2HL$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$, основание $AB$ которого лежит на оси абсцисс, проведены высоты $AM$, $BN$ и $CK$. Найдите длину основания $AB$, если известны координаты точек $M(2,2)$ и $N(4,4)$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AD$ и $BE$, пересекающиеся в точке $O$. Угол $DOC$ равен $58^\circ$. Найти углы треугольника $ABC$, если известно, что точки $D$, $O$, $E$ и $C$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение:
Точки $M$, $N$, $P$ — основания высот, опущенных из вершин треугольника $ABC$ с углами $45^\circ$, $60^\circ$, $75^\circ$ на его стороны. Найти отношение площадей треугольников $MNP$ и $ABC$.
Ответ:
Решение:
Пусть $H$ — точка пересечения высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность, описанная около треугольника $ABH$, касается прямой $AC$. Найдите косинус угла $BCA$, если $AH=1$, $AB=3\sqrt{11}$.
Ответ:
Решение:
Высоты $AA_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Луч $BH$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точке $P$. Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $AHP$ и $CHP$, если известно, что $BA_1:BC_1=3:4$, а $AH:CH=3:10$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$, построенная на высоте $AH$ треугольника $ABC$ как на диаметре, пересекает сторону $AB$ этого треугольника в её середине $M$. Высота $AH$ лежит внутри треугольника. На стороне $AC$ отмечена точка $X$ такая, что $CM$ делит отрезок $HX$ пополам. Найдите отношение $AX:XC$, если $BC:AB=2\sqrt{2}$.
Ответ:
Решение:
На медиане $AM$ треугольника $ABC$ выбрана точка $P$ такая, что $\angle BAC+\angle BPC=180^\circ$. Найдите $AC$, если известно, что $AB=5$, $BP=3$, $CP=4$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ со стороной $BC=3\sqrt{193}$ ортогональные проекции медианы $BM$ на прямые $AB$ и $AC$ равны и имеют длину $25{,}2$. Найдите длину биссектрисы $AL$ треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Угол $A$ остроугольного треугольника $ABC$ равен $60^\circ$, а $AB\gt AC$. Пусть $I$ — точка пересечения биссектрис, а $H$ — точка пересечения высот этого треугольника. Найдите $\angle ABC$, если $\angle AHI=78^\circ$. Ответ укажите в градусах.
Ответ:
Решение: