Остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$ с центром в точке $O$, его высоты пересекаются в точке $H$. Через точку $O$ проведена прямая, перпендикулярная $AH$, а через точку $H$ — прямая, перпендикулярная $AO$. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами $AB$ и $AC$ лежат на одной окружности, которая касается окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность $\gamma$. Оказалось, что окружности, построенные на отрезках $AB$ и $CD$ как на диаметрах, касаются друг друга внешним образом в точке $S$. Пусть точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AB$ и $CD$ соответственно. Докажите, что перпендикуляр $\ell$ к прямой $MN$, восставленный в точке $M$, пересекает прямую $CS$ в точке, лежащей на $\gamma$.
Ответ:
Решение:
Из каждой вершины треугольника $ABC$ провели внутрь него два луча, красный и синий, симметричные относительно биссектрисы соответствующего угла. Около треугольников, образованных при пересечении лучей одного цвета, описали окружности. Докажите, что если описанная окружность треугольника $ABC$ касается одной из этих окружностей, то она касается и другой.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $E$, а на стороне $AD$ — точка $F$ так, что описанная окружность треугольника $ABE$ касается отрезка $CF$. Докажите, что описанная окружность треугольника $CDF$ касается прямой $AE$.
Ответ:
Решение:
Окружности $\Omega$ и $\omega$ касаются друг друга внутренним образом в точке $A$. Проведем в большей окружности $\Omega$ хорду $CD$, касающуюся $\omega$ в точке $B$ (хорда $AB$ не является диаметром $\omega$). Точка $M$ — середина отрезка $AB$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $CMD$, проходит через центр $\omega$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ отмечена точка $D$, а на продолжении стороны $BC$ за точку $C$ — точка $E$. Оказалось, что прямая, проходящая через $E$ и параллельная $AB$, касается окружности, описанной около треугольника $ADC$. Докажите, что одна из касательных, проведенных из точки $E$ к описанной окружности треугольника $BCD$, отсекает от угла $ABE$ треугольник, подобный треугольнику $ABC$.
Ответ:
Решение:
Вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $CA$ неравнобедренного треугольника $ABC$ в точках $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно. Пусть $m$ — средняя линия треугольника $A_1B_1C_1$, параллельная стороне $B_1C_1$. Биссектриса угла $B_1A_1C_1$ пересекает $m$ в точке $K$. Докажите, что описанная окружность треугольника $BCK$ касается $m$.
Ответ:
Решение:
Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. На отрезках $BH$ и $CH$ отмечены точки $B_1$ и $C_1$ соответственно так, что $B_1C_1\parallel BC$. Оказалось, что центр окружности $\omega$, описанной около треугольника $B_1HC_1$, лежит на прямой $BC$. Докажите, что окружность $\Gamma$, описанная около треугольника $ABC$, касается окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
В неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$. Продолжение медианы, проведённой из вершины $B$, пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $ABC$, в точке $D$. Через центр окружности, описанной около треугольника $BDL$, проведена прямая $\ell$, параллельная прямой $AC$. Докажите, что окружность $\omega$ касается прямой $\ell$.
Ответ:
Решение:
В окружности $\omega$ с центром в точке $O$ провели непересекающиеся хорды $AB$ и $CD$ так, что $\angle AOB=\angle COD=120^\circ$. Касательная к $\omega$ в точке $A$ пересекает луч $CD$ в точке $X$, а касательная к $\omega$ в точке $B$ пересекает луч $DC$ в точке $Y$. Прямая $\ell$ проходит через центры окружностей, описанных около треугольников $DOX$ и $COY$. Докажите, что $\ell$ касается $\omega$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ касается сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. Окружность $\Omega$ касается стороны $AC$ и продолжения стороны $AB$ за точку $B$, а также касается $\omega$ в точке $L$, лежащей на стороне $BC$. Прямая $AL$ вторично пересекает $\omega$ и $\Omega$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Оказалось, что $KB\parallel CM$. Докажите, что треугольник $LCM$ равнобедренный.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $PQ\parallel BC$. Отрезки $BQ$ и $CP$ пересекаются в точке $O$. Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно прямой $BC$. Отрезок $A'O$ пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $APQ$, в точке $S$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $BSC$, касается окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
Равносторонний треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$ и описан вокруг окружности $\omega$. На сторонах $AC$ и $AB$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что отрезок $PQ$ касается $\omega$. Окружность $\Omega_b$ с центром $P$ проходит через вершину $B$, а окружность $\Omega_c$ с центром $Q$ — через $C$. Докажите, что окружности $\Omega$, $\Omega_b$ и $\Omega_c$ имеют общую точку.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Обозначим через $I_A$, $I_B$, $I_C$ и $I_D$ центры окружностей $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$ и $\omega_D$, вписанных в треугольники $DAB$, $ABC$, $BCD$ и $CDA$ соответственно. Оказалось, что $\angle BI_AA+\angle I_CI_AI_D=180^\circ$. Докажите, что $\angle BI_BA+\angle I_CI_BI_D=180^\circ$.
Ответ:
Решение:
Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник, в котором $AC\lt BC$; пусть $M$ — середина отрезка $AB$. В окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$, проведен диаметр $CC'$. Прямая $CM$ пересекает прямые $AC'$ и $BC'$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Пусть перпендикуляр к прямой $AC'$, проведенный через точку $K$, перпендикуляр к прямой $BC'$, проведенный через точку $L$, и прямая $AB$ образуют треугольник $\Delta$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $\Delta$, касается окружности $\Omega$.
Ответ:
Решение:
Остроугольный треугольник $ABC$ ($AB\lt AC$) вписан в окружность $\Omega$. Пусть $M$ — точка пересечения его медиан, а $AH$ — высота этого треугольника. Луч $MH$ пересекает $\Omega$ в точке $A'$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $A'HB$, касается $AB$.
Ответ:
Решение:
Параллелограмм $ABCD$ таков, что $\angle B\lt 90^\circ$ и $AB\lt BC$. Точки $E$ и $F$ выбраны на окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, так, что касательные к $\omega$ в этих точках проходят через $D$. Оказалось, что $\angle EDA=\angle FDC$. Найдите угол $ABC$.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$, в котором $AB\lt AC\lt BC$. Точки $E$ и $F$ выбраны на окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, так, что касательные к $\omega$ в этих точках проходят через $D$; при этом отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются. Оказалось, что $\angle ABF=\angle DCE$. Найдите угол $ABC$.
Ответ:
Решение:
Две равные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ проходят через точку $A$. На окружности $\omega_1$ отмечена точка $B$ так, что прямая $AB$ касается окружности $\omega_2$. На окружности $\omega_2$ отмечена точка $C$ так, что прямая $AC$ касается окружности $\omega_1$. Прямая, проходящая через точку $A$, повторно пересекает окружность $\omega_1$ в точке $X$ и окружность $\omega_2$ в точке $Y$. Докажите, что один из отрезков $BX$, $CY$ и $XY$ равен сумме двух других.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$. Известно, что $\angle DAB=\angle ABC=90^\circ$, а биссектрисы углов $C$ и $D$ пересекаются в точке $E$, лежащей внутри трапеции. Докажите, что описанные окружности треугольников $ABE$ и $CDE$ касаются.
Ответ:
Решение: