В треугольнике $ABC$ проведены срединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AC$, пересекающие прямые $AC$ и $AB$ в точках $N$ и $M$ соответственно. Длина отрезка $NM$ равна длине стороны $BC$ треугольника. Найти угол при вершине $A$ треугольника.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольнике $ABCD$ угол $A$ равен $88^\circ$, угол $B$ равен $122^\circ$, $CD=2$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $CKD$, где $K$ — точка пересечения биссектрис углов $C$ и $D$, и сравните этот радиус с 1,04.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $AH$ в два раза короче высоты $BO$. Найдите синус угла между прямыми $AH$ и $BO$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $PVG$ на стороне $VG$ выбрана точка $D$ так, что $PD=PV$. Точка $F$ симметрична точке $D$ относительно прямой $PG$. Найдите $VF$, если синус угла $PGV$ равен $2/5$, а $PV=5\sqrt{3}$.
Ответ:
Решение:
Кратчайшее расстояние от вершины $B$ треугольника $ABC$ до точек противолежащей стороны равно 12. Найдите стороны $AB$ и $BC$ этого треугольника, если $\sin\angle C=\sqrt{3}/2$ и $AC=5$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь треугольника $ABC$, в котором $AB=4$, $AC=5$ и $\cos(\angle B-\angle C)=\frac{11}{16}$.
Ответ:
Решение:
Наибольшая сторона треугольника на 10 больше второй по величине стороны, а один из углов треугольника в 2 раза больше другого. Чему может быть равна биссектриса третьего угла, если этот угол в 3 раза больше, чем один из двух других углов?
Ответ:
Решение:
По программе реновации было решено разобрать старый дом и на его месте построить новый. При разборе старого дома возникло две проблемы. 1) Скопление строительного лома перекрыло подход к некоторым точкам строительной площадки, между которыми необходимо было промерить расстояние. Прораб промерил расстояние от точки $C$ до точки $A$ и от точки $C$ до точки $B$ (см. рис.). Оказалось, что $AC=4$ м, $BC=10$ м. Кроме того, ему удалось определить расстояния $CR=1$ м, $VR=3$ м, $CV=2{,}5$ м для точек $R$ и $V$, расположенных на продолжениях прямых дорожек, соединяющих объекты $A$, $C$ и $C$, $B$ соответственно.
Определите расстояние между точками $A$ и $B$ (промерить это расстояние на площадке не представлялось возможным из-за завала) и площадь части строительной площадки $CADB$ при условии, что расстояния $CD$ и $BD$ вдвое больше расстояния $CB$.
2) Из земли торчал негнущийся кусок арматуры — штырь, высота которого над землей $0{,}5$ м. Попытки выдернуть его из земли не привели к успеху. Тогда рабочие сдвинули его бульдозером так, что конец штыря сравнялся с поверхностью земли и оказался на расстоянии $1{,}5$ м от первоначальной точки входа штыря в землю. Найдите длину части штыря, скрытую в земле, предполагая, что его нижний конец не сместился.
Определите расстояние между точками $A$ и $B$ (промерить это расстояние на площадке не представлялось возможным из-за завала) и площадь части строительной площадки $CADB$ при условии, что расстояния $CD$ и $BD$ вдвое больше расстояния $CB$.
2) Из земли торчал негнущийся кусок арматуры — штырь, высота которого над землей $0{,}5$ м. Попытки выдернуть его из земли не привели к успеху. Тогда рабочие сдвинули его бульдозером так, что конец штыря сравнялся с поверхностью земли и оказался на расстоянии $1{,}5$ м от первоначальной точки входа штыря в землю. Найдите длину части штыря, скрытую в земле, предполагая, что его нижний конец не сместился.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$, площадь которого равна $180\sqrt{3}$, проведены биссектриса $AD$ и высота $AH$. Окружность радиуса $\dfrac{105\sqrt{3}}{4}$ с центром, лежащим на прямой $BC$, проходит через точки $A$ и $D$. Найдите радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности, если $BH^2-HC^2=768$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны $80^\circ$, боковая сторона \[ AB=\frac{2\cos10^\circ}{1-\cos40^\circ}. \] На сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $E$ и $D$ соответственно, причём угол $CAD$ равен $50^\circ$, а угол $ACE$ равен $60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $AED$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ равны углы $\angle A=\angle C=32^\circ$. Внутри треугольника выбрана такая точка $O$, что угол $BCO$ в 2 раза больше угла $BAO$, а угол $OBC$ в 3 раза больше угла $ABO$. Во сколько раз угол $BOA$ больше, чем угол $BAO$?
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол при вершине равен $2\arccos\frac34$. Окружность радиуса 4 с центром в середине основания $AC$ пересекает прямую $AB$ в точках $K$ и $L$, а прямую $BC$ в точках $M$ и $N$, причём отрезки $KM$ и $LN$ пересекаются. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $B$, $L$ и $N$.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $D$, что $\angle ABD=\angle CBD=40^\circ$, $\angle ACD=20^\circ$, $\angle CAD=30^\circ$. Найдите:
а) углы $BAD$ и $BCD$;
б) расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BCD$, если $BC=3$.
а) углы $BAD$ и $BCD$;
б) расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BCD$, если $BC=3$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ выбирается точка $K$ так, что $AK=CM$. Через точку $K$ и вершину $B$ проводится прямая, которая пересекает сторону $AC$ в точке $E$. Величина угла $BEC$ в два раза больше величины угла $CAM$. Найдите величину угла $AMB$ в градусах.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ выбирается точка $D$ так, что $CD:DB=2:1$, а на отрезке $AD$ — точка $K$, при этом $AK=CD+DK$. Через точку $K$ и вершину $B$ проводится прямая, которая пересекает сторону $AC$ в точке $E$. Треугольник $AEK$ — равнобедренный ($AE=EK$). Найдите величину угла $ADC$ в градусах.
Ответ:
Решение:
а) В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $AC$ и гипотенузе $AB$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно, такие что $AD:AC=3:5$ и $DE\perp AB$. Найдите тангенс угла $BAC$, если известно, что $\angle CED=45^\circ$.
б) Пусть дополнительно известно, что $AC=\sqrt{29}$. Найдите площадь треугольника $CED$.
б) Пусть дополнительно известно, что $AC=\sqrt{29}$. Найдите площадь треугольника $CED$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $AC$ и гипотенузе $AB$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно, такие что $DE\perp AB$. Найдите отношение $AD:AC$ и площадь треугольника $AED$, если известно, что $AC=\sqrt7$, $BC=2\sqrt{\frac73}$, а $\angle CED=30^\circ$.
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ делят сторону $AC$ треугольника $ABC$ на три части, каждая из которых равна 2, причём $AB\perp BM$, $BC\perp BN$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) проведена высота $CH$. Луч с началом в точке $B$ наклонен под углом $45^\circ$ к гипотенузе и пересекает отрезки $CH$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $\angle BAC$, если известно, что периметры треугольников $BCM$ и $MCN$ равны.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ принадлежит катету $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$, причем $AM=2$, $MC=16$. Отрезок $MH$ — высота треугольника $AMB$. Точка $D$ расположена на прямой $MH$ так, что угол $ADB$ равен $90^\circ$, и точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AB$. Найдите длину отрезка $BL$, если $L$ — точка пересечения $BD$ и $AC$, а тангенс угла $ACH$ равен $1/18$.
Ответ:
Решение: