При каких значениях параметра $a$ уравнение\[\log_2\left(2x^2+(2a+1)x-2a\right)-2\log_4\left(x^2+3ax+2a^2\right)=0\]имеет два различных корня, сумма квадратов которых больше $4$?
Ответ:
Решение:
Укажите все значения $a$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} \log_{|x-1|}(ax)=2\log_{|x-1|}(x+y),\\ 3-x=\sqrt{x^2-6x+y+8} \end{cases} \] имеет единственное решение, и найдите это решение при каждом $a$.
Ответ:
Решение:
Укажите все значения $a$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} \log_{|x+4|}(ax+5a)=2\log_{|x+4|}(x+y),\\ x+2+\sqrt{x^2+4x+y-2}=0 \end{cases} \] имеет два различных решения, и найдите эти решения при каждом $a$.
Ответ:
Решение:
Найти все $a$, при которых уравнение \[\log_5\left(x+\sqrt{2-a}\right)+\log_{\frac{1}{5}}(a-1-x)=\log_{25}9\] имеет решение.
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при которых система \[\begin{cases}\log_2(3-x+y)+3=\log_2(25-6x+7y),\\ y+2=(x-2a)^2+a+2x\end{cases}\] имеет два решения.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ 3x^2\log_a x-\log_x a-2x\geqslant 0 \] (относительно неизвестной $x$) состоит из полуинтервала и точки (которая не принадлежит этому полуинтервалу и не является его концом)?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство \[ 3\sqrt[3]{\log_x^7 2}+6\sqrt[3]{\log_x^4 2}+a^2\leqslant a\log_x^2 2+2a\log_x 2+3a\sqrt[3]{\log_x 2} \] не выполняется ни для одного $x$ из интервала $(1;2)$. Укажите решения неравенства при найденных значениях параметра $a$.
Ответ:
Решение:
Для каждого значения параметра $a$ решите систему неравенств \[ \begin{cases} \dfrac{\left(x^2-4x+5-a\right)(x-a+1)}{\sqrt{9-x}}\gt 0,\\ \log_{\frac{x^2-4x}{5}}a\leqslant1. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ x^2-\left(a^2+a-1\right)x+a^3-a^2\leqslant0 \] содержит ровно пять целых значений $x$? Ответом должно являться число, вычисляемое по следующему правилу: 1) находится сумма квадратов всех чисел, находящихся на концах полученных отрезков, интервалов и полуинтервалов; 2) к полученному результату прибавляется столько единиц, сколько квадратных скобок содержит полученное множество значений параметра.
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n$ множество решений неравенства \[ 15x^2-2(n+15)x+(n-6)(20-n)\leqslant0 \] содержит ровно $3$ целых числа?
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ x^2-x\left(a^2+a+1\right)+a^3+a^2\leqslant 0 \] содержит ровно четыре целых значения $x$? В ответе укажите число, вычисляемое по следующему правилу: 1) находится сумма квадратов всех чисел, находящихся на концах полученных отрезков, интервалов и полуинтервалов; 2) к полученному результату прибавляется столько единиц, сколько квадратных скобок содержит полученное множество значений параметра.
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при которых уравнение $\sin x=(4a-2)^2$ имеет корни, а числа $\frac{1-4a}{27a^4}$ являются целыми.
Ответ:
Решение:
При каких значениях $a$ система \[ \begin{cases} 2[x]-3[y]=7,\\ 3x+2y=a \end{cases} \] имеет единственное решение? Здесь $[z]$ — целая часть числа $z$ — наибольшее целое число, не превосходящее $z$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при которых существует целое число $n$, удовлетворяющее уравнению \[ n^2\cdot 3^a-3^a-16n=9\cdot 3^{-a}-3^{2-a}\cdot n^2. \]
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ \left|2[\operatorname{tg}a]-1\right|^x=[\operatorname{tg}a]^2+2 \] имеет рациональное решение $x$. Здесь $[t]$ — целая часть числа $t$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ x^3+y^3+x^2y+xy^2=\sqrt{a}(x^2+y^2)+\sqrt{13-a}(x+y)-\sqrt{13a-a^2} \] имеет ровно четыре решения в целых числах?
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет единственное решение: \[ \sqrt{x+\dfrac12+\sqrt{x+\dfrac14}}+x=a? \]
Ответ:
Решение:
Найти числа $x$, являющиеся решениями уравнения $|x-a|+|x-2a+3|=1$ хотя бы при одном значении $a\in[3;4]$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ 4x-\bigl|3x-|x+a|\bigr|=9|x-1| \] имеет хотя бы один корень.
Ответ:
Решение: